Trigonometría Ejemplos

$r = 10 \sin (θ)$

Paso 1

Dado que $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , reemplaza $\sin (θ)$ por $\frac{y}{r}$ .

$r = 10 \frac{y}{r}$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $r$ .

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Paso 2.1

Multiplica ambos lados por $r$ .

$r \cdot r = r (10 \frac{y}{r})$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Multiplica $r$ por $r$ .

$r^{2} = r (10 \frac{y}{r})$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica $r (10 \frac{y}{r})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$r^{2} = 10 r \frac{y}{r}$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $r$ de $10 r$ .

$r^{2} = r \cdot 10 \frac{y}{r}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$r^{2} = r \cdot 10 \frac{y}{r}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$r^{2} = 10 y$

Paso 3

Dado que $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , reemplaza $r^{2}$ por $x^{2} + y^{2}$ y $r$ por $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 10 y$

Paso 4

Escribe en ecuación ordinaria.

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Paso 4.1

Resta $10 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$

Paso 4.2

Completa el cuadrado de $y^{2} - 10 y$ .

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Paso 4.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Paso 4.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Paso 4.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 5}{1}$

Paso 4.2.3.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$d = - 5$

Paso 4.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.2.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Paso 4.2.4.2.1.3

Divide $100$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Paso 4.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$e = 0 - 25$

Paso 4.2.4.2.2

Resta $25$ de $0$ .

$e = - 25$

Paso 4.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 5)}^{2} - 25$ .

${(y - 5)}^{2} - 25$

Paso 4.3

Sustituye ${(y - 5)}^{2} - 25$ por $y^{2} - 10 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ .

$x^{2} + {(y - 5)}^{2} - 25 = 0$

Paso 4.4

Mueve $- 25$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $25$ a ambos lados.

$x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 0 + 25$

Paso 4.5

Suma $0$ y $25$ .

$x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$