Trigonometría Ejemplos

$3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \cos (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (x)$ .

$3 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Factoriza $2$ de $2 u$ .

$3 u^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Reescribe $2$ como $- 1$ más $3$

$3 u^{2} + (- 1 + 3) u - 1 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} - 1 u) + 3 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u + 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

Step 3

Establece $3 \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $3 \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$3 \cos (x) - 1 = 0$

Resuelve $3 \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 \cos (x) = 1$

Divide cada término en $3 \cos (x) = 1$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 \cos (x) = 1$ por $3$ .

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arccos (\frac{1}{3})$ .

$x = 1.23095941$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Resuelve $x$

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Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Simplifica $2 (3.14159265) - 1.23095941$ .

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Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

Resta $1.23095941$ de $6.2831853$ .

$x = 5.05222588$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Resuelve $\cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = - 1$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$