Trigonometría Ejemplos

$2 \tan^{2} (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \tan (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\tan (x)$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Multiplica $u$ por $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$(2 \tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \tan (x) + 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Step 3

Establece $2 \tan (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 \tan (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \tan (x) + 1 = 0$

Resuelve $2 \tan (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \tan (x) = - 1$

Divide cada término en $2 \tan (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \tan (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$x = - 0.4636476$

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $2 π$ a $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

El ángulo resultante de $2.67794504$ es positivo y coterminal con $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = 2.67794504$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $π$ y $- 0.4636476$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.4636476 + π$

Reemplaza con aproximación decimal.

$3.14159265 - 0.4636476$

Resta $0.4636476$ de $3.14159265$ .

$2.67794504$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 2.67794504$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2.67794504 + π n, 2.67794504 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\tan (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\tan (x) - 1$ igual a $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Resuelve $\tan (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = 1$

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2.67794504 + π n, 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Consolida las respuestas.

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Consolida $2.67794504 + π n$ y $2.67794504 + π n$ en $2.67794504 + π n$ .

$x = 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{π}{4} + π n$ y $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$