Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{{(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 1

Reescribe ${(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})}^{2}$ como $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})$ .

$\sqrt{(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 2

Expande $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\sqrt{6} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$\sqrt{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.3

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\sqrt{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sqrt{6 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.5

Multiplica $\sqrt{6} (- 2 \sqrt{3})$ .

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Paso 3.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{6 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.6

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.6.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{6 - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.8

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.9

Multiplica $- 2 \sqrt{3} \sqrt{6}$ .

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Paso 3.1.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.9.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.10

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.1.10.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.10.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.12

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.13

Multiplica $- 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})$ .

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Paso 3.1.13.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.13.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.13.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.13.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.13.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{3}}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.14

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.14.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.14.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.14.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.14.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.14.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{1} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.14.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3 + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.1.15

Multiplica $4$ por $3$ .

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 12 + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.2

Suma $6$ y $12$ .

$\sqrt{18 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 3.3

Resta $6 \sqrt{2}$ de $- 6 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4

Reescribe ${(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}$ como $(5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + (5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Paso 5

Expande $(5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6})$ .

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Paso 6.1.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \sqrt{6} \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.1.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.1.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {\sqrt{6}}^{2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.2

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 6.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{1} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6 + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.3

Multiplica $25$ por $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.4

Multiplica $5 \sqrt{6} \sqrt{3}$ .

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Paso 6.1.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{18} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.5

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.1.5.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.7

Multiplica $3$ por $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.8

Multiplica $\sqrt{3} (5 \sqrt{6})$ .

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Paso 6.1.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.8.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{18} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.9

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.1.9.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.9.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.10

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.11

Multiplica $3$ por $5$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.1.12

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Paso 6.1.13

Multiplica $3$ por $3$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{9}}$

Paso 6.1.14

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3^{2}}}$

Paso 6.1.15

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + 3}$

Paso 6.2

Suma $150$ y $3$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 153 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2}}$

Paso 6.3

Suma $15 \sqrt{2}$ y $15 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 153 + 30 \sqrt{2}}$

Paso 7

Suma $18$ y $153$ .

$\sqrt{171 - 12 \sqrt{2} + 30 \sqrt{2}}$

Paso 8

Suma $- 12 \sqrt{2}$ y $30 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{171 + 18 \sqrt{2}}$

Paso 9

Reescribe $171 + 18 \sqrt{2}$ como $3^{2} (19 + 2 \sqrt{2})$ .

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Paso 9.1

Factoriza $9$ de $171$ .

$\sqrt{9 (19) + 18 \sqrt{2}}$

Paso 9.2

Factoriza $9$ de $18 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{9 (19) + 9 (2 \sqrt{2})}$

Paso 9.3

Factoriza $9$ de $9 (19) + 9 (2 \sqrt{2})$ .

$\sqrt{9 (19 + 2 \sqrt{2})}$

Paso 9.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} (19 + 2 \sqrt{2})}$

Paso 10

Retira los términos de abajo del radical.

$3 \sqrt{19 + 2 \sqrt{2}}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$3 \sqrt{19 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$14.01627069 \dots$