Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{\frac{1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}}{1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3}}}$

Paso 1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{3}{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{3}}{1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3}}}$

Paso 2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3}}{1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3}}}$

Paso 3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{2 \sqrt{2}}{3}}}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3}}}$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ por $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) (\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3 + 2 \sqrt{2}})}$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ por $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{(3 - 2 \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})}}$

Paso 8.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{9 + 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}}$

Paso 8.3

Simplifica.

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}$

Paso 8.4

Divide $3 + 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})}$

Paso 9

Expande $(3 + 2 \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3 (3 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (3 + 2 \sqrt{2})}$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3 \cdot 3 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (3 + 2 \sqrt{2})}$

Paso 9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3 \cdot 3 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Paso 10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\sqrt{9 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Paso 10.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Paso 10.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Paso 10.1.4

Multiplica $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Paso 10.1.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 10.1.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 10.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 10.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 10.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 10.1.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 10.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 10.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 10.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1}}$

Paso 10.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2}$

Paso 10.1.6

Multiplica $4$ por $2$ .

$\sqrt{9 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} + 8}$

Paso 10.2

Suma $9$ y $8$ .

$\sqrt{17 + 6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}$

Paso 10.3

Suma $6 \sqrt{2}$ y $6 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{17 + 12 \sqrt{2}}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{17 + 12 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$5.82842712 \dots$