Trigonometría Ejemplos

$- \sqrt{\frac{1 - (- \frac{1}{\sqrt{2}})}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 2.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 2.6.5

Evalúa el exponente.

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 3

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}$

Paso 6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}}$

Paso 7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}}$

Paso 7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}}$

Paso 7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}}$

Paso 7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}}$

Paso 7.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}}$

Paso 7.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}}$

Paso 7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}}$

Paso 7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}}$

Paso 7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}}$

Paso 7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}}}$

Paso 7.6.5

Evalúa el exponente.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Paso 8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Paso 9

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Paso 10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Paso 12

Multiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Paso 13

Expande el denominador con el método PEIU.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Paso 14

Simplifica.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Paso 15

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Paso 16

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Paso 16.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Paso 17

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 18

Obtén el denominador común

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Paso 18.1

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \sqrt{\frac{2}{1} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 18.2

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 18.3

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 18.4

Escribe $\sqrt{2}$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 18.5

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 18.6

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 20

Simplifica cada término.

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Paso 20.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 20.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 20.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Paso 20.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Paso 20.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Paso 20.6

Simplifica cada término.

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Paso 20.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Paso 20.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Paso 20.6.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Paso 21

Simplifica los términos.

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Paso 21.1

Suma $4$ y $2$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 21.2

Suma $2 \sqrt{2}$ y $2 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 21.3

Cancela el factor común de $6 + 4 \sqrt{2}$ y $2$ .

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Paso 21.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 21.3.2

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}$

Paso 21.3.3

Factoriza $2$ de $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}$

Paso 21.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 21.3.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}$

Paso 21.3.4.2

Cancela el factor común.

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}$

Paso 21.3.4.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}$

Paso 21.3.4.4

Divide $3 + 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Paso 22

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$- 2.41421356 \dots$