Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Paso 1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{5}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Paso 2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Paso 3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{\frac{5 - \sqrt{11}}{5}}}$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{\frac{5 + \sqrt{11}}{5} \cdot \frac{5}{5 - \sqrt{11}}}$

Paso 6

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{5 + \sqrt{11}}{5} \cdot \frac{5}{5 - \sqrt{11}}}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{1}{5 - \sqrt{11}}}$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{5 - \sqrt{11}}$ por $\frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}}$ .

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) (\frac{1}{5 - \sqrt{11}} \cdot \frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}})}$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{5 - \sqrt{11}}$ por $\frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}}$ .

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{(5 - \sqrt{11}) (5 + \sqrt{11})}}$

Paso 8.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{25 + 5 \sqrt{11} - 5 \sqrt{11} - {\sqrt{11}}^{2}}}$

Paso 8.3

Simplifica.

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

Paso 8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{5 \frac{5 + \sqrt{11}}{14} + \sqrt{11} \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

Paso 8.5

Combina $5$ y $\frac{5 + \sqrt{11}}{14}$ .

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11})}{14} + \sqrt{11} \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

Paso 8.6

Combina $\sqrt{11}$ y $\frac{5 + \sqrt{11}}{14}$ .

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11})}{14} + \frac{\sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Paso 8.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11}) + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Paso 9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Paso 9.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

Paso 9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} \cdot 5 + \sqrt{11} \sqrt{11}}{14}}$

Paso 9.4

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{11}$ .

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \cdot \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{11}}{14}}$

Paso 9.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \cdot \sqrt{11} + \sqrt{11 \cdot 11}}{14}}$

Paso 9.6

Simplifica cada término.

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Paso 9.6.1

Multiplica $11$ por $11$ .

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + \sqrt{121}}{14}}$

Paso 9.6.2

Reescribe $121$ como $11^{2}$ .

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11^{2}}}{14}}$

Paso 9.6.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + 11}{14}}$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Suma $25$ y $11$ .

$\sqrt{\frac{36 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11}}{14}}$

Paso 10.2

Suma $5 \sqrt{11}$ y $5 \sqrt{11}$ .

$\sqrt{\frac{36 + 10 \sqrt{11}}{14}}$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $36 + 10 \sqrt{11}$ y $14$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$\sqrt{\frac{2 (18) + 10 \sqrt{11}}{14}}$

Paso 10.3.2

Factoriza $2$ de $10 \sqrt{11}$ .

$\sqrt{\frac{2 (18) + 2 (5 \sqrt{11})}{14}}$

Paso 10.3.3

Factoriza $2$ de $2 (18) + 2 (5 \sqrt{11})$ .

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{14}}$

Paso 10.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.4.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{2 \cdot 7}}$

Paso 10.3.4.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{2 \cdot 7}}$

Paso 10.3.4.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{18 + 5 \sqrt{11}}{7}}$

Paso 11

Reescribe $\sqrt{\frac{18 + 5 \sqrt{11}}{7}}$ como $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$

Paso 12

Multiplica $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Paso 13

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 13.1

Multiplica $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 13.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Paso 13.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Paso 13.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 13.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 13.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 13.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 13.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 13.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Paso 13.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7}$

Paso 14

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{(18 + 5 \sqrt{11}) \cdot 7}}{7}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{(18 + 5 \sqrt{11}) \cdot 7}}{7}$

Forma decimal:

$2.22271146 \dots$