Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{\frac{1 + \frac{1}{5 \sqrt{2}}}{2}}$

Paso 1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{5 \sqrt{2}} + \frac{1}{5 \sqrt{2}}}{2}}$

Paso 2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{5 \sqrt{2} + 1}{5 \sqrt{2}}}{2}}$

Paso 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{\frac{5 \sqrt{2} + 1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 4

Multiplica $\frac{5 \sqrt{2} + 1}{5 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{5 \sqrt{2} + 1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \frac{1}{2}}$

Paso 5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{5 \sqrt{2} + 1}{5 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.6

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.7.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.7.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 6

Multiplica $5$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{5 \sqrt{2} \sqrt{2} + 1 \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 8

Multiplica $5 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 8.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 8.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{\frac{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 8.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{5 {\sqrt{2}}^{2} + 1 \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 9

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{5 {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 10.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 10.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 10.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 10.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 10.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2^{1} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 10.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2 + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 10.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{10 + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 11

Multiplica $\frac{10 + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{10 + \sqrt{2}}{10}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{10 + \sqrt{2}}{10 \cdot 2}}$

Paso 11.2

Multiplica $10$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{10 + \sqrt{2}}{20}}$

Paso 12

Reescribe $\sqrt{\frac{10 + \sqrt{2}}{20}}$ como $\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{\sqrt{20}}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{\sqrt{20}}$

Paso 13

Simplifica el denominador.

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Paso 13.1

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 13.1.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (5)}}$

Paso 13.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Paso 13.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 14

Multiplica $\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 15

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 15.1

Multiplica $\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 15.2

Mueve $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Paso 15.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Paso 15.4

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Paso 15.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 15.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 15.7

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 15.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 15.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 15.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 15.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 15.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{1}}$

Paso 15.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Paso 16

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{(10 + \sqrt{2}) \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Paso 17

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{(10 + \sqrt{2}) \cdot 5}}{10}$

Paso 18

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{(10 + \sqrt{2}) \cdot 5}}{10}$

Forma decimal:

$0.75545395 \dots$