Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{\frac{78 - \sqrt{7}}{1} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 1

Para escribir $\frac{78 - \sqrt{7}}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{78 - \sqrt{7}}{1} \cdot \frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{78 - \sqrt{7}}{1}$ por $\frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})}{3 - \sqrt{7}} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4

Reescribe $\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1

Expande $(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{78 (3 - \sqrt{7}) - \sqrt{7} (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{78 \cdot 3 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{78 \cdot 3 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $78$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{234 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $78$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- \sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 1 \sqrt{7} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.4.2

Multiplica $\sqrt{7}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.4.4

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1 + 1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.5

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7 + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.2

Suma $234$ y $7$ .

$\sqrt{\frac{241 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.2.3

Resta $3 \sqrt{7}$ de $- 78 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{241 - 81 \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 4.3

Suma $241$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ por $\frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} \cdot \frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}}$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ por $\frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}}$

Paso 6.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{9 + 3 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} - {\sqrt{7}}^{2}}}$

Paso 6.3

Simplifica.

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{2}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Expande $(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{243 (3 + \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (3 + \sqrt{7})}{2}}$

Paso 7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{243 \cdot 3 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} (3 + \sqrt{7})}{2}}$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{243 \cdot 3 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 3 - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

Paso 7.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $243$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 3 - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $- 81$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 81 \sqrt{7} \sqrt{7}$ .

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Paso 7.2.1.3.1

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}{2}}$

Paso 7.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}{2}}$

Paso 7.2.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{2}}$

Paso 7.2.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 7.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Paso 7.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Paso 7.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Paso 7.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{1}}{2}}$

Paso 7.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7}{2}}$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $- 81$ por $7$ .

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 567}{2}}$

Paso 7.2.2

Resta $567$ de $729$ .

$\sqrt{\frac{162 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7}}{2}}$

Paso 7.2.3

Resta $243 \sqrt{7}$ de $243 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{162 + 0}{2}}$

Paso 7.2.4

Suma $162$ y $0$ .

$\sqrt{\frac{162}{2}}$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Divide $162$ por $2$ .

$\sqrt{81}$

Paso 8.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\sqrt{9^{2}}$

Paso 8.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$9$