Trigonometría Ejemplos

$2 {(\frac{\sqrt{3} - 1}{2})}^{3}$

Paso 1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ .

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{2^{3}}$

Paso 1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{8}$

Paso 2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{2 (4)}$

Paso 2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{4}$

Paso 3

Simplifica ${(\sqrt{3} - 1)}^{3}$ .

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Paso 3.1

Usa el teorema del binomio.

$\frac{{\sqrt{3}}^{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3^{3}} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\sqrt{27} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.3

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.2.3.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{1} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.6

Multiplica $3 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 9 \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} \cdot 1 + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Paso 3.2.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} - 1}{4}$

Paso 3.3

Suma $3 \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 9 + 6 \sqrt{3} - 1}{4}$

Paso 3.4

Resta $1$ de $- 9$ .

$\frac{- 10 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Paso 4

Cancela el factor común de $- 10 + 6 \sqrt{3}$ y $4$ .

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{2 (- 5) + 6 \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.2

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- 5) + 2 (3 \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.3

Factoriza $2$ de $2 (- 5) + 2 (3 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 5 + 3 \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (- 5 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 5 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Paso 4.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 + 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 5

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{- 1 (5) + 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Factoriza $- 1$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (5) - (- 3 \sqrt{3})}{2}$

Paso 7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (- 3 \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 (5 - 3 \sqrt{3})}{2}$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{5 - 3 \sqrt{3}}{2}$

Forma decimal:

$0.09807621 \dots$