Trigonometría Ejemplos

$(9, \frac{π}{4})$

Paso 1

Para obtener $\sin (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(9, \frac{π}{4})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(9, 0)$ y $(9, \frac{π}{4})$ .

Opuesto: $\frac{π}{4}$

Adyacente: $9$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{81 + {(\frac{π}{4})}^{2}}$

Paso 2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{4}$ .

$\sqrt{81 + \frac{π^{2}}{4^{2}}}$

Paso 2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{81 + \frac{π^{2}}{16}}$

Paso 2.4

Para escribir $81$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{81 \cdot \frac{16}{16} + \frac{π^{2}}{16}}$

Paso 2.5

Combina $81$ y $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 16}{16} + \frac{π^{2}}{16}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{81 \cdot 16 + π^{2}}{16}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $81$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{1296 + π^{2}}{16}}$

Paso 2.7

Reescribe $\sqrt{\frac{1296 + π^{2}}{16}}$ como $\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Paso 2.8

Simplifica el denominador.

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Paso 2.8.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

Paso 2.8.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{4}$

Paso 3

$\sin (θ) = \frac{Opuesto}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\sin (θ) = \frac{\frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{4}}$ .

$\frac{\frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{4}}$

Paso 4

Simplifica $\sin (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (θ) = \frac{π}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$

Paso 4.2

Combinar.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 4}{4 \sqrt{1296 + π^{2}}}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 4}{4 \sqrt{1296 + π^{2}}}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{π}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{1296 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$

Paso 4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{π}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}} \sqrt{1296 + π^{2}}}$

Paso 4.5.2

Eleva $\sqrt{1296 + π^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}} \sqrt{1296 + π^{2}}}$

Paso 4.5.3

Eleva $\sqrt{1296 + π^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}} \sqrt{1296 + π^{2}}}$

Paso 4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{\sqrt{1296 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

Paso 4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{\sqrt{1296 + π^{2}}}^{2}}$

Paso 4.5.6

Reescribe ${\sqrt{1296 + π^{2}}}^{2}$ como $1296 + π^{2}$ .

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Paso 4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1296 + π^{2}}$ como ${(1296 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{({(1296 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{(1296 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{(1296 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{(1296 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{1296 + π^{2}}$

Paso 4.5.6.5

Simplifica.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{1296 + π^{2}}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{1296 + π^{2}} \approx 0.08693606$