Trigonometría Ejemplos

$(\frac{p}{2}, \frac{p}{3})$

Paso 1

Para obtener $\sin (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(\frac{p}{2}, \frac{p}{3})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(\frac{p}{2}, 0)$ y $(\frac{p}{2}, \frac{p}{3})$ .

Opuesto: $\frac{p}{3}$

Adyacente: $\frac{p}{2}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{p}{2}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{2^{2}} + {(\frac{p}{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} + {(\frac{p}{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Aplica la regla del producto a $\frac{p}{3}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} + \frac{p^{2}}{3^{2}}}$

Paso 2.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} + \frac{p^{2}}{9}}$

Paso 2.5

Para escribir $\frac{p^{2}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{p^{2}}{9}}$

Paso 2.6

Para escribir $\frac{p^{2}}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{p^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.7.1

Multiplica $\frac{p^{2}}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{p^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.7.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{36} + \frac{p^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.7.3

Multiplica $\frac{p^{2}}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{36} + \frac{p^{2} \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

Paso 2.7.4

Multiplica $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{36} + \frac{p^{2} \cdot 4}{36}}$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9 + p^{2} \cdot 4}{36}}$

Paso 2.9

Reescribe $\frac{p^{2} \cdot 9 + p^{2} \cdot 4}{36}$ en forma factorizada.

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Paso 2.9.1

Mueve $9$ a la izquierda de $p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot p^{2} + p^{2} \cdot 4}{36}}$

Paso 2.9.2

Mueve $4$ a la izquierda de $p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{9 p^{2} + 4 \cdot p^{2}}{36}}$

Paso 2.9.3

Suma $9 p^{2}$ y $4 p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{13 p^{2}}{36}}$

Paso 2.10

Reescribe $\frac{13 p^{2}}{36}$ como ${(\frac{p}{6})}^{2} \cdot 13$ .

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Paso 2.10.1

Factoriza la potencia perfecta $p^{2}$ de $13 p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 13}{36}}$

Paso 2.10.2

Factoriza la potencia perfecta $6^{2}$ de $36$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 13}{6^{2} \cdot 1}}$

Paso 2.10.3

Reorganiza la fracción $\frac{p^{2} \cdot 13}{6^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{p}{6})}^{2} \cdot 13}$

Paso 2.11

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{p}{6} \sqrt{13}$

Paso 2.12

Combina $\frac{p}{6}$ y $\sqrt{13}$ .

$\frac{p \sqrt{13}}{6}$

Paso 3

$\sin (θ) = \frac{Opuesto}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\sin (θ) = \frac{\frac{p}{3}}{\frac{p \sqrt{13}}{6}}$ .

$\frac{\frac{p}{3}}{\frac{p \sqrt{13}}{6}}$

Paso 4

Simplifica $\sin (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (θ) = \frac{p}{3} \cdot \frac{6}{p \sqrt{13}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $p$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $p$ de $p \sqrt{13}$ .

$\sin (θ) = \frac{p}{3} \cdot \frac{6}{p (\sqrt{13})}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{p}{3} \cdot \frac{6}{p \sqrt{13}}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (2)}{\sqrt{13}}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{13}}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{13}}$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Paso 4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Paso 4.5.2

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Paso 4.5.3

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Paso 4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Paso 4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Paso 4.5.6

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

Paso 4.5.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13} \approx 0.55470019$