Trigonometría Ejemplos

$(6, \frac{21 π}{4})$

Paso 1

Para obtener $\sin (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(6, \frac{21 π}{4})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(6, 0)$ y $(6, \frac{21 π}{4})$ .

Opuesto: $\frac{21 π}{4}$

Adyacente: $6$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 + {(\frac{21 π}{4})}^{2}}$

Paso 2.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{21 π}{4}$ .

$\sqrt{36 + \frac{{(21 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla del producto a $21 π$ .

$\sqrt{36 + \frac{21^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Paso 2.3

Eleva $21$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 + \frac{441 π^{2}}{4^{2}}}$

Paso 2.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Paso 2.5

Para escribir $36$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{36 \cdot \frac{16}{16} + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Paso 2.6

Combina $36$ y $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 16}{16} + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 16 + 441 π^{2}}{16}}$

Paso 2.7.2

Multiplica $36$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{576 + 441 π^{2}}{16}}$

Paso 2.8

Reescribe $\sqrt{\frac{576 + 441 π^{2}}{16}}$ como $\frac{\sqrt{576 + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{576 + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Reescribe $576 + 441 π^{2}$ como $3^{2} (64 + 49 π^{2})$ .

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Paso 2.9.1.1

Factoriza $9$ de $576$ .

$\frac{\sqrt{9 (64) + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Paso 2.9.1.2

Factoriza $9$ de $441 π^{2}$ .

$\frac{\sqrt{9 (64) + 9 (49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Paso 2.9.1.3

Factoriza $9$ de $9 (64) + 9 (49 π^{2})$ .

$\frac{\sqrt{9 (64 + 49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Paso 2.9.1.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} (64 + 49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Paso 2.9.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Paso 2.10

Simplifica el denominador.

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Paso 2.10.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

Paso 2.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}$

Paso 3

$\sin (θ) = \frac{Opuesto}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\sin (θ) = \frac{\frac{21 π}{4}}{\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}}$ .

$\frac{\frac{21 π}{4}}{\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}}$

Paso 4

Simplifica $\sin (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (θ) = \frac{21 π}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Paso 4.2

Combinar.

$\sin (θ) = \frac{21 π \cdot 4}{4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $21$ y $3$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $3$ de $21 π \cdot 4$ .

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $3$ de $4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})$ .

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{3 (4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}}))}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{3 (4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}}))}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 4}{4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 4}{4 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Paso 4.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $\frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Paso 4.6.2

Eleva $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Paso 4.6.3

Eleva $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Paso 4.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{1 + 1}}$

Paso 4.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{2}}$

Paso 4.6.6

Reescribe ${\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{2}$ como $64 + 49 π^{2}$ .

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Paso 4.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ como ${(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{({(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}}$

Paso 4.6.6.5

Simplifica.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}} \approx 0.93974924$