Trigonometría Ejemplos

$(\sqrt{3}, \sqrt{5})$

Paso 1

Para obtener $\cos (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(\sqrt{3}, \sqrt{5})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(\sqrt{3}, 0)$ y $(\sqrt{3}, \sqrt{5})$ .

Opuesto: $\sqrt{5}$

Adyacente: $\sqrt{3}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3^{1} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 2.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{3 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{3 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{3 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{3 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{3 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3 + 5^{1}}$

Paso 2.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{3 + 5}$

Paso 2.3

Suma $3$ y $5$ .

$\sqrt{8}$

Paso 2.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Paso 2.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{2}$

Paso 3

$\cos (θ) = \frac{Adyacente}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 4

Simplifica $\cos (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 4.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 4.2.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 4.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 4.2.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 4.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 4.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 4.2.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.7.5

Evalúa el exponente.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.61237243$