Trigonometría Ejemplos

$(\frac{5}{8}, - \sqrt{\frac{39}{8}})$

Paso 1

Para obtener $\cos (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(\frac{5}{8}, - \sqrt{\frac{39}{8}})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(\frac{5}{8}, 0)$ y $(\frac{5}{8}, - \sqrt{\frac{39}{8}})$ .

Opuesto: $- \sqrt{\frac{39}{8}}$

Adyacente: $\frac{5}{8}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{8}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{8^{2}} + {(- \sqrt{\frac{39}{8}})}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{8^{2}} + {(- \sqrt{\frac{39}{8}})}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \sqrt{\frac{39}{8}})}^{2}}$

Paso 2.4

Reescribe $\sqrt{\frac{39}{8}}$ como $\frac{\sqrt{39}}{\sqrt{8}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{8}})}^{2}}$

Paso 2.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.5.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{4 (2)}})}^{2}}$

Paso 2.5.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Paso 2.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}})}^{2}}$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- (\frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2}}$

Paso 2.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}$

Paso 2.7.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}^{2}}$

Paso 2.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}^{2}}$

Paso 2.7.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}^{2}}$

Paso 2.7.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Paso 2.7.6

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}$

Paso 2.7.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.7.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Paso 2.7.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Paso 2.7.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Paso 2.7.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.7.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Paso 2.7.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})}^{2}}$

Paso 2.7.7.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}^{2}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $39$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{78}}{2 \cdot 2})}^{2}}$

Paso 2.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{78}}{4})}^{2}}$

Paso 2.10

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.10.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{78}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{78}}{4})}^{2}}$

Paso 2.10.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{78}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}}$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + 1 \frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}}$

Paso 2.11.2

Multiplica $\frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}}$

Paso 2.12

Reescribe ${\sqrt{78}}^{2}$ como $78$ .

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Paso 2.12.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{78}$ como $78^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{{(78^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}}$

Paso 2.12.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}}$

Paso 2.12.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Paso 2.12.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.12.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Paso 2.12.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{1}}{4^{2}}}$

Paso 2.12.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78}{4^{2}}}$

Paso 2.13

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78}{16}}$

Paso 2.14

Cancela el factor común de $78$ y $16$ .

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Paso 2.14.1

Factoriza $2$ de $78$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{2 (39)}{16}}$

Paso 2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.14.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{2 \cdot 39}{2 \cdot 8}}$

Paso 2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{2 \cdot 39}{2 \cdot 8}}$

Paso 2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39}{8}}$

Paso 2.15

Para escribir $\frac{39}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39}{8} \cdot \frac{8}{8}}$

Paso 2.16

Escribe cada expresión con un denominador común de $64$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.16.1

Multiplica $\frac{39}{8}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39 \cdot 8}{8 \cdot 8}}$

Paso 2.16.2

Multiplica $8$ por $8$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39 \cdot 8}{64}}$

Paso 2.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{25 + 39 \cdot 8}{64}}$

Paso 2.18

Simplifica el numerador.

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Paso 2.18.1

Multiplica $39$ por $8$ .

$\sqrt{\frac{25 + 312}{64}}$

Paso 2.18.2

Suma $25$ y $312$ .

$\sqrt{\frac{337}{64}}$

Paso 2.19

Reescribe $\sqrt{\frac{337}{64}}$ como $\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{64}}$ .

$\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{64}}$

Paso 2.20

Simplifica el denominador.

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Paso 2.20.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{8^{2}}}$

Paso 2.20.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{337}}{8}$

Paso 3

$\cos (θ) = \frac{Adyacente}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\cos (θ) = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{337}}{8}}$ .

$\frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{337}}{8}}$

Paso 4

Simplifica $\cos (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\cos (θ) = \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{337}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{337}}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = 5 (\frac{1}{\sqrt{337}})$

Paso 4.3

Combina $5$ y $\frac{1}{\sqrt{337}}$ .

$\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{337}}$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{337}}$ por $\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{337}}$ .

$\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{337}} \cdot \frac{\sqrt{337}}{\sqrt{337}}$

Paso 4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{337}}$ por $\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{337}}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{\sqrt{337} \sqrt{337}}$

Paso 4.5.2

Eleva $\sqrt{337}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{\sqrt{337} \sqrt{337}}$

Paso 4.5.3

Eleva $\sqrt{337}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{\sqrt{337} \sqrt{337}}$

Paso 4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{{\sqrt{337}}^{1 + 1}}$

Paso 4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{{\sqrt{337}}^{2}}$

Paso 4.5.6

Reescribe ${\sqrt{337}}^{2}$ como $337$ .

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Paso 4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{337}$ como $337^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{{(337^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337}$

Paso 4.5.6.5

Evalúa el exponente.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337} \approx 0.27236735$