Trigonometría Ejemplos

$(1, \frac{π}{3})$

Paso 1

Para obtener $\sin (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(1, \frac{π}{3})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(1, 0)$ y $(1, \frac{π}{3})$ .

Opuesto: $\frac{π}{3}$

Adyacente: $1$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + {(\frac{π}{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{3}$ .

$\sqrt{1 + \frac{π^{2}}{3^{2}}}$

Paso 2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{π^{2}}{9}}$

Paso 2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{π^{2}}{9}}$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{9 + π^{2}}{9}}$

Paso 2.6

Reescribe $\sqrt{\frac{9 + π^{2}}{9}}$ como $\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

Paso 2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 2.7.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 2.7.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

Paso 3

$\sin (θ) = \frac{Opuesto}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\sin (θ) = \frac{\frac{π}{3}}{\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{3}}$ .

$\frac{\frac{π}{3}}{\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{3}}$

Paso 4

Simplifica $\sin (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (θ) = \frac{π}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{9 + π^{2}}}$

Paso 4.2

Combinar.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 3}{3 \sqrt{9 + π^{2}}}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 3}{3 \sqrt{9 + π^{2}}}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{9 + π^{2}}}$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{π}{\sqrt{9 + π^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{9 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}}}$

Paso 4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{π}{\sqrt{9 + π^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}} \sqrt{9 + π^{2}}}$

Paso 4.5.2

Eleva $\sqrt{9 + π^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}} \sqrt{9 + π^{2}}}$

Paso 4.5.3

Eleva $\sqrt{9 + π^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}} \sqrt{9 + π^{2}}}$

Paso 4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{{\sqrt{9 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

Paso 4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{{\sqrt{9 + π^{2}}}^{2}}$

Paso 4.5.6

Reescribe ${\sqrt{9 + π^{2}}}^{2}$ como $9 + π^{2}$ .

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Paso 4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 + π^{2}}$ como ${(9 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{{({(9 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{{(9 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{{(9 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{{(9 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{9 + π^{2}}$

Paso 4.5.6.5

Simplifica.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{9 + π^{2}}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{9 + π^{2}}}{9 + π^{2}} \approx 0.72321674$