Trigonometría Ejemplos

$\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$ por $\frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$ .

$\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$ por $\frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$ .

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{(\sqrt{7} + i \sqrt{21}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{{\sqrt{7}}^{2} - i \sqrt{147} + i \sqrt{147} - i^{2} {\sqrt{21}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{28}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}$ y $28$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $7$ de $(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})$ .

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{28}$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $7$ de $28$ .

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{7 (4)}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{7 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

Paso 3

Expande $(\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{21} (\sqrt{7} - i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{21} \sqrt{7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{21} \sqrt{7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{21 \cdot 7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.2

Multiplica $21$ por $7$ .

$\frac{\sqrt{147} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.3

Reescribe $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.1.3.1

Factoriza $49$ de $147$ .

$\frac{\sqrt{49 (3)} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.3.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2} \cdot 3} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{7 \sqrt{3} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.5

Multiplica $\sqrt{21} (- i \sqrt{21})$ .

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Paso 4.1.5.1

Eleva $\sqrt{21}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i ({\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.5.2

Eleva $\sqrt{21}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i ({\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7 \sqrt{3} - i {\sqrt{21}}^{1 + 1} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i {\sqrt{21}}^{2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.6

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

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Paso 4.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i {(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{1} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21 + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.7

Multiplica $21$ por $- 1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.8

Multiplica $i \sqrt{7} \sqrt{7}$ .

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Paso 4.1.8.1

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.8.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {\sqrt{7}}^{1 + 1} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.8.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {\sqrt{7}}^{2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.9

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 4.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.9.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.9.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{1} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.9.5

Evalúa el exponente.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7 + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.10

Mueve $7$ a la izquierda de $i$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 \cdot i + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.11

Multiplica $i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})$ .

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Paso 4.1.11.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- (i^{1} i) \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.11.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.11.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- i^{1 + 1} \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.11.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- i^{2} \sqrt{21})}{4}$

Paso 4.1.11.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - i^{2} \sqrt{7 \cdot 21}}{4}$

Paso 4.1.11.6

Multiplica $7$ por $21$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - i^{2} \sqrt{147}}{4}$

Paso 4.1.12

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - - 1 \sqrt{147}}{4}$

Paso 4.1.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + 1 \sqrt{147}}{4}$

Paso 4.1.14

Multiplica $\sqrt{147}$ por $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{147}}{4}$

Paso 4.1.15

Reescribe $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.1.15.1

Factoriza $49$ de $147$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{49 (3)}}{4}$

Paso 4.1.15.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{4}$

Paso 4.1.16

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + 7 \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.2

Suma $7 \sqrt{3}$ y $7 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 21 i + 7 i + 14 \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.3

Suma $- 21 i$ y $7 i$ .

$\frac{- 14 i + 14 \sqrt{3}}{4}$

Paso 5

Reordena $- 14 i$ y $14 \sqrt{3}$ .

$\frac{14 \sqrt{3} - 14 i}{4}$

Paso 6

Cancela el factor común de $14 \sqrt{3} - 14 i$ y $4$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $14 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3}) - 14 i}{4}$

Paso 6.2

Factoriza $2$ de $- 14 i$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3}) + 2 (- 7 i)}{4}$

Paso 6.3

Factoriza $2$ de $2 (7 \sqrt{3}) + 2 (- 7 i)$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{4}$

Paso 6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{2 (2)}$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{2 \cdot 2}$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7 \sqrt{3} - 7 i}{2}$