Trigonometría Ejemplos

$(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$

Paso 1

Para obtener $\sin (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(\frac{5}{6}, 0)$ y $(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$ .

Opuesto: $\sqrt{\frac{11}{6}}$

Adyacente: $\frac{5}{6}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{6}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{6^{2}} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{6^{2}} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Paso 2.4

Reescribe $\sqrt{\frac{11}{6}}$ como $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}})}^{2}}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})}^{2}}$

Paso 2.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}})}^{2}}$

Paso 2.6.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}})}^{2}}$

Paso 2.6.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}})}^{2}}$

Paso 2.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Paso 2.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}})}^{2}}$

Paso 2.6.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 2.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Paso 2.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Paso 2.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Paso 2.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Paso 2.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{1}})}^{2}}$

Paso 2.6.6.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11 \cdot 6}}{6})}^{2}}$

Paso 2.7.2

Multiplica $11$ por $6$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{66}}{6})}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica los términos.

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Paso 2.8.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{66}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{{\sqrt{66}}^{2}}{6^{2}}}$

Paso 2.8.2

Reescribe ${\sqrt{66}}^{2}$ como $66$ .

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Paso 2.8.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{66}$ como $66^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Paso 2.8.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Paso 2.8.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Paso 2.8.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.8.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Paso 2.8.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{1}}{6^{2}}}$

Paso 2.8.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66}{6^{2}}}$

Paso 2.8.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66}{36}}$

Paso 2.8.4

Cancela el factor común de $66$ y $36$ .

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Paso 2.8.4.1

Factoriza $6$ de $66$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 (11)}{36}}$

Paso 2.8.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.4.2.1

Factoriza $6$ de $36$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 \cdot 11}{6 \cdot 6}}$

Paso 2.8.4.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 \cdot 11}{6 \cdot 6}}$

Paso 2.8.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11}{6}}$

Paso 2.9

Para escribir $\frac{11}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11}{6} \cdot \frac{6}{6}}$

Paso 2.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.10.1

Multiplica $\frac{11}{6}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11 \cdot 6}{6 \cdot 6}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11 \cdot 6}{36}}$

Paso 2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{25 + 11 \cdot 6}{36}}$

Paso 2.12

Simplifica el numerador.

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Paso 2.12.1

Multiplica $11$ por $6$ .

$\sqrt{\frac{25 + 66}{36}}$

Paso 2.12.2

Suma $25$ y $66$ .

$\sqrt{\frac{91}{36}}$

Paso 2.13

Reescribe $\sqrt{\frac{91}{36}}$ como $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{36}}$

Paso 2.14

Simplifica el denominador.

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Paso 2.14.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{6^{2}}}$

Paso 2.14.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{91}}{6}$

Paso 3

$\sin (θ) = \frac{Opuesto}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\sin (θ) = \frac{\sqrt{\frac{11}{6}}}{\frac{\sqrt{91}}{6}}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{11}{6}}}{\frac{\sqrt{91}}{6}}$

Paso 4

Simplifica $\sin (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{11}{6}} (\frac{6}{\sqrt{91}})$

Paso 4.2

Reescribe $\sqrt{\frac{11}{6}}$ como $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.4.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.4.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.4.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.5.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Paso 4.5.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \sqrt{11} \sqrt{6} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Paso 4.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sin (θ) = \sqrt{11 \cdot 6} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Paso 4.7

Multiplica $11$ por $6$ .

$\sin (θ) = \sqrt{66} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Paso 4.8

Combina $\sqrt{66}$ y $\frac{1}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$

Paso 4.9

Multiplica $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$ por $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}} \cdot \frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$

Paso 4.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$ por $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Paso 4.10.2

Eleva $\sqrt{91}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Paso 4.10.3

Eleva $\sqrt{91}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Paso 4.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{\sqrt{91}}^{1 + 1}}$

Paso 4.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{\sqrt{91}}^{2}}$

Paso 4.10.6

Reescribe ${\sqrt{91}}^{2}$ como $91$ .

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Paso 4.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{91}$ como $91^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{(91^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.10.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.10.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.10.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91}$

Paso 4.10.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91}$

Paso 4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 4.11.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66 \cdot 91}}{91}$

Paso 4.11.2

Multiplica $66$ por $91$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6006}}{91}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6006}}{91} \approx 0.85163062$