Trigonometría Ejemplos

$(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$

Paso 1

Para obtener $\sin (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(\frac{9}{11}, 0)$ y $(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$ .

Opuesto: $\frac{40}{41}$

Adyacente: $\frac{9}{11}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{11}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{11^{2}} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{11^{2}} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Paso 2.4

Aplica la regla del producto a $\frac{40}{41}$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{40^{2}}{41^{2}}}$

Paso 2.5

Eleva $40$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{1600}{41^{2}}}$

Paso 2.6

Eleva $41$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{1600}{1681}}$

Paso 2.7

Para escribir $\frac{81}{121}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1681}{1681}$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} \cdot \frac{1681}{1681} + \frac{1600}{1681}}$

Paso 2.8

Para escribir $\frac{1600}{1681}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{121}{121}$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} \cdot \frac{1681}{1681} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Paso 2.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $203401$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.9.1

Multiplica $\frac{81}{121}$ por $\frac{1681}{1681}$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{121 \cdot 1681} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Paso 2.9.2

Multiplica $121$ por $1681$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Paso 2.9.3

Multiplica $\frac{1600}{1681}$ por $\frac{121}{121}$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600 \cdot 121}{1681 \cdot 121}}$

Paso 2.9.4

Multiplica $1681$ por $121$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600 \cdot 121}{203401}}$

Paso 2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681 + 1600 \cdot 121}{203401}}$

Paso 2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1

Multiplica $81$ por $1681$ .

$\sqrt{\frac{136161 + 1600 \cdot 121}{203401}}$

Paso 2.11.2

Multiplica $1600$ por $121$ .

$\sqrt{\frac{136161 + 193600}{203401}}$

Paso 2.11.3

Suma $136161$ y $193600$ .

$\sqrt{\frac{329761}{203401}}$

Paso 2.12

Reescribe $\sqrt{\frac{329761}{203401}}$ como $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{203401}}$ .

$\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{203401}}$

Paso 2.13

Simplifica el denominador.

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Paso 2.13.1

Reescribe $203401$ como $451^{2}$ .

$\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{451^{2}}}$

Paso 2.13.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{329761}}{451}$

Paso 3

$\sin (θ) = \frac{Opuesto}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\sin (θ) = \frac{\frac{40}{41}}{\frac{\sqrt{329761}}{451}}$ .

$\frac{\frac{40}{41}}{\frac{\sqrt{329761}}{451}}$

Paso 4

Simplifica $\sin (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{451}{\sqrt{329761}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $41$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $41$ de $451$ .

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{41 (11)}{\sqrt{329761}}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{41 \cdot 11}{\sqrt{329761}}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = 40 (\frac{11}{\sqrt{329761}})$

Paso 4.3

Combina $40$ y $\frac{11}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{40 \cdot 11}{\sqrt{329761}}$

Paso 4.4

Multiplica $40$ por $11$ .

$\sin (θ) = \frac{440}{\sqrt{329761}}$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{440}{\sqrt{329761}}$ por $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{440}{\sqrt{329761}} \cdot \frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$

Paso 4.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $\frac{440}{\sqrt{329761}}$ por $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Paso 4.6.2

Eleva $\sqrt{329761}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Paso 4.6.3

Eleva $\sqrt{329761}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Paso 4.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{\sqrt{329761}}^{1 + 1}}$

Paso 4.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{\sqrt{329761}}^{2}}$

Paso 4.6.6

Reescribe ${\sqrt{329761}}^{2}$ como $329761$ .

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Paso 4.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{329761}$ como $329761^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{(329761^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761}$

Paso 4.6.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761} \approx 0.7662192$