Trigonometría Ejemplos

$(- \frac{1}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}})$

Paso 1

Para obtener $\sin (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(- \frac{1}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(- \frac{1}{2}, 0)$ y $(- \frac{1}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}})$ .

Opuesto: $\sqrt{\frac{3}{2}}$

Adyacente: $- \frac{1}{2}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 2.6

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}}$

Paso 2.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.8.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}$

Paso 2.8.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}}$

Paso 2.8.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}}$

Paso 2.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Paso 2.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}$

Paso 2.8.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Paso 2.8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Paso 2.8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Paso 2.8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.8.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Paso 2.8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}}$

Paso 2.8.6.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2})}^{2}}$

Paso 2.9.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica los términos.

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Paso 2.10.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 2.10.2

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 2.10.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 2.10.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 2.10.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 2.10.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.10.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 2.10.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{1}}{2^{2}}}$

Paso 2.10.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6}{2^{2}}}$

Paso 2.10.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6}{4}}$

Paso 2.10.4

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 2.10.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2 (3)}{4}}$

Paso 2.10.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.10.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.10.4.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.10.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2}}$

Paso 2.11

Para escribir $\frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.12

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.12.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}}$

Paso 2.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{1 + 3 \cdot 2}{4}}$

Paso 2.14

Simplifica el numerador.

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Paso 2.14.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + 6}{4}}$

Paso 2.14.2

Suma $1$ y $6$ .

$\sqrt{\frac{7}{4}}$

Paso 2.15

Reescribe $\sqrt{\frac{7}{4}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.16

Simplifica el denominador.

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Paso 2.16.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 2.16.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{7}}{2}$

Paso 3

$\sin (θ) = \frac{Opuesto}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\sin (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$

Paso 4

Simplifica $\sin (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{3}{2}} (\frac{2}{\sqrt{7}})$

Paso 4.2

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Paso 4.5.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \sqrt{3} \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{7}})$

Paso 4.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sin (θ) = \sqrt{3 \cdot 2} (\frac{1}{\sqrt{7}})$

Paso 4.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$\sin (θ) = \sqrt{6} (\frac{1}{\sqrt{7}})$

Paso 4.8

Combina $\sqrt{6}$ y $\frac{1}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Paso 4.9

Multiplica $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Paso 4.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 4.10.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 4.10.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 4.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 4.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 4.10.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 4.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.10.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.10.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.10.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Paso 4.10.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Paso 4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 4.11.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

Paso 4.11.2

Multiplica $6$ por $7$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{42}}{7}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{42}}{7} \approx 0.92582009$