Trigonometría Ejemplos

$(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$

Paso 1

Para obtener $\sin (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(\frac{1}{2}, 0)$ y $(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$ .

Opuesto: $\frac{4}{9}$

Adyacente: $\frac{1}{2}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

Paso 2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

Paso 2.4

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4^{2}}{9^{2}}}$

Paso 2.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{9^{2}}}$

Paso 2.6

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{81}}$

Paso 2.7

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{81}{81}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{81}{81} + \frac{16}{81}}$

Paso 2.8

Para escribir $\frac{16}{81}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{81}{81} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $324$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.9.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{81}{81}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4 \cdot 81} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.9.2

Multiplica $4$ por $81$ .

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.9.3

Multiplica $\frac{16}{81}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16 \cdot 4}{81 \cdot 4}}$

Paso 2.9.4

Multiplica $81$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16 \cdot 4}{324}}$

Paso 2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{81 + 16 \cdot 4}{324}}$

Paso 2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1

Multiplica $16$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{81 + 64}{324}}$

Paso 2.11.2

Suma $81$ y $64$ .

$\sqrt{\frac{145}{324}}$

Paso 2.12

Reescribe $\sqrt{\frac{145}{324}}$ como $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{324}}$ .

$\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{324}}$

Paso 2.13

Simplifica el denominador.

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Paso 2.13.1

Reescribe $324$ como $18^{2}$ .

$\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{18^{2}}}$

Paso 2.13.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{145}}{18}$

Paso 3

$\sin (θ) = \frac{Opuesto}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\sin (θ) = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{\sqrt{145}}{18}}$ .

$\frac{\frac{4}{9}}{\frac{\sqrt{145}}{18}}$

Paso 4

Simplifica $\sin (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{18}{\sqrt{145}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{9 (2)}{\sqrt{145}}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{145}}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = 4 (\frac{2}{\sqrt{145}})$

Paso 4.3

Combina $4$ y $\frac{2}{\sqrt{145}}$ .

$\sin (θ) = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{145}}$

Paso 4.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{145}}$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{145}}$ por $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$ .

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{145}} \cdot \frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$

Paso 4.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{145}}$ por $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

Paso 4.6.2

Eleva $\sqrt{145}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

Paso 4.6.3

Eleva $\sqrt{145}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

Paso 4.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{\sqrt{145}}^{1 + 1}}$

Paso 4.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{\sqrt{145}}^{2}}$

Paso 4.6.6

Reescribe ${\sqrt{145}}^{2}$ como $145$ .

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Paso 4.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{145}$ como $145^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{(145^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145}$

Paso 4.6.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145} \approx 0.66436383$