Trigonometría Ejemplos

$C = 83.8$ , $a = 3$ , $b = 10$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(10)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 10 \cos (83.8)}$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(10)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (10 \cos (83.8))}$

Paso 4.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{9 + 100 - 2 \cdot 3 \cdot (10 \cos (83.8))}$

Paso 4.3

Multiplica $- 2 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$c = \sqrt{9 + 100 - 6 \cdot (10 \cos (83.8))}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 6$ por $10$ .

$c = \sqrt{9 + 100 - 60 \cos (83.8)}$

Paso 4.4

Suma $9$ y $100$ .

$c = \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$

Paso 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $A$ .

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (83.8)}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (83.8)}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Paso 7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (83.8)}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (83.8)}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $3 \frac{\sin (83.8)}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Evalúa $\sin (83.8)$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Paso 7.2.2.1.2

Multiplica $\frac{0.99415096}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$ por $\frac{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{0.99415096}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}} \cdot \frac{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}})$

Paso 7.2.2.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1.3.1

Multiplica $\frac{0.99415096}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$ por $\frac{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)} \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Paso 7.2.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{1} \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}$

Paso 7.2.2.1.3.3

Eleva $\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{1} {\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{1}}$

Paso 7.2.2.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.2.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{2}}$

Paso 7.2.2.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}^{2}$ como $109 - 60 \cos (83.8)$ .

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Paso 7.2.2.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$ como ${(109 - 60 \cos (83.8))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{({(109 - 60 \cos (83.8))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.2.2.1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{(109 - 60 \cos (83.8))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.2.2.1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{(109 - 60 \cos (83.8))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.2.1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{(109 - 60 \cos (83.8))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.2.1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{{(109 - 60 \cos (83.8))}^{1}}$

Paso 7.2.2.1.3.6.5

Simplifica.

$\sin (A) = 3 \frac{0.99415096 \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}}{109 - 60 \cos (83.8)}$

Paso 7.2.2.1.4

Multiplica $0.99415096$ por $\sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{10.06599519}{109 - 60 \cos (83.8)}$

Paso 7.2.2.1.5

Evalúa $\cos (83.8)$ .

$\sin (A) = 3 \frac{10.06599519}{109 - 60 \cdot 0.10799935}$

Paso 7.2.2.1.6

Multiplica $- 60$ por $0.10799935$ .

$\sin (A) = 3 \frac{10.06599519}{109 - 6.47996134}$

Paso 7.2.2.1.7

Resta $6.47996134$ de $109$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{10.06599519}{102.52003865})$

Paso 7.2.2.1.8

Divide $10.06599519$ por $102.52003865$ .

$\sin (A) = 3 \cdot 0.09818563$

Paso 7.2.2.1.9

Multiplica $3$ por $0.09818563$ .

$\sin (A) = 0.2945569$

Paso 7.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (0.2945569)$

Paso 7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.1

Evalúa $\arcsin (0.2945569)$ .

$A = 17.13096953$

Paso 7.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 17.13096953$

Paso 7.6

Resta $17.13096953$ de $180$ .

$A = 162.86903046$

Paso 7.7

La solución a la ecuación $A = 17.13096953$ .

$A = 17.13096953, 162.86903046$

Paso 7.8

Excluye el ángulo no válido.

$A = 17.13096953$

Paso 8

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$17.13096953 + 83.8 + B = 180$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 9.1

Suma $17.13096953$ y $83.8$ .

$100.93096953 + B = 180$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $100.93096953$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 180 - 100.93096953$

Paso 9.2.2

Resta $100.93096953$ de $180$ .

$B = 79.06903046$

Paso 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 17.13096953$

$B = 79.06903046$

$C = 83.8$

$a = 3$

$b = 10$

$c = \sqrt{109 - 60 \cos (83.8)}$