Trigonometría Ejemplos

$b = 4$ , $c = 1$ , $A = 100$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$a = \sqrt{{(4)}^{2} + {(1)}^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cos (100)}$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{16 + {(1)}^{2} - 2 \cdot 4 \cdot (1 \cos (100))}$

Paso 4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$a = \sqrt{16 + 1 - 2 \cdot 4 \cdot (1 \cos (100))}$

Paso 4.3

Multiplica $- 2 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$a = \sqrt{16 + 1 - 8 \cdot (1 \cos (100))}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$a = \sqrt{16 + 1 - 8 \cos (100)}$

Paso 4.4

Evalúa $\cos (100)$ .

$a = \sqrt{16 + 1 - 8 \cdot - 0.17364817}$

Paso 4.5

Multiplica $- 8$ por $- 0.17364817$ .

$a = \sqrt{16 + 1 + 1.38918542}$

Paso 4.6

Suma $16$ y $1$ .

$a = \sqrt{17 + 1.38918542}$

Paso 4.7

Suma $17$ y $1.38918542$ .

$a = \sqrt{18.38918542}$

Paso 4.8

Evalúa la raíz.

$a = 4.28826135$

Paso 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{4} = \frac{\sin (100)}{4.28826135}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{\sin (B)}{4} = 4 \frac{\sin (100)}{4.28826135}$

Paso 7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{\sin (B)}{4} = 4 \frac{\sin (100)}{4.28826135}$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 4 \frac{\sin (100)}{4.28826135}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $4 \frac{\sin (100)}{4.28826135}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Evalúa $\sin (100)$ .

$\sin (B) = 4 (\frac{0.98480775}{4.28826135})$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $0.98480775$ por $4.28826135$ .

$\sin (B) = 4 \cdot 0.22965198$

Paso 7.2.2.1.3

Multiplica $4$ por $0.22965198$ .

$\sin (B) = 0.91860795$

Paso 7.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $B$ del interior de seno.

$B = \arcsin (0.91860795)$

Paso 7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.1

Evalúa $\arcsin (0.91860795)$ .

$B = 66.72341618$

Paso 7.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 66.72341618$

Paso 7.6

Resta $66.72341618$ de $180$ .

$B = 113.27658381$

Paso 7.7

La solución a la ecuación $B = 66.72341618$ .

$B = 66.72341618, 113.27658381$

Paso 7.8

Excluye el ángulo no válido.

$B = 66.72341618$

Paso 8

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$100 + C + 66.72341618 = 180$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 9.1

Suma $100$ y $66.72341618$ .

$C + 166.72341618 = 180$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $166.72341618$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 166.72341618$

Paso 9.2.2

Resta $166.72341618$ de $180$ .

$C = 13.27658381$

Paso 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 100$

$B = 66.72341618$

$C = 13.27658381$

$a = 4.28826135$

$b = 4$

$c = 1$