Trigonometría Ejemplos

$B = 32$ , $b = 100$ , $c = 150$

Paso 1

El teorema de los senos produce un resultado de ángulo ambiguo. Esto significa que hay $2$ ángulos que resolverán correctamente la ecuación. Para el primer triángulo, usa el valor del primer ángulo posible.

Resuelve el primer triángulo.

Paso 2

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $C$ .

$\frac{\sin (C)}{150} = \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $150$ .

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $150$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $150 \frac{\sin (32)}{100}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común de $50$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Factoriza $50$ de $150$ .

$\sin (C) = 50 (3) \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Factoriza $50$ de $100$ .

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Paso 4.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Paso 4.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 3 \frac{\sin (32)}{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Combina $3$ y $\frac{\sin (32)}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{3 \sin (32)}{2}$

Paso 4.2.2.1.3

Evalúa $\sin (32)$ .

$\sin (C) = \frac{3 \cdot 0.52991926}{2}$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $3$ por $0.52991926$ .

$\sin (C) = \frac{1.58975779}{2}$

Paso 4.2.2.1.5

Divide $1.58975779$ por $2$ .

$\sin (C) = 0.79487889$

Paso 4.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $C$ del interior de seno.

$C = \arcsin (0.79487889)$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

Evalúa $\arcsin (0.79487889)$ .

$C = 52.64381859$

Paso 4.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$C = 180 - 52.64381859$

Paso 4.6

Resta $52.64381859$ de $180$ .

$C = 127.3561814$

Paso 4.7

La solución a la ecuación $C = 52.64381859$ .

$C = 52.64381859, 127.3561814$

Paso 5

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 52.64381859 + 32 = 180$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 6.1

Suma $52.64381859$ y $32$ .

$A + 84.64381859 = 180$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $84.64381859$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 84.64381859$

Paso 6.2.2

Resta $84.64381859$ de $180$ .

$A = 95.3561814$

Paso 7

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 8

Resuelve la ecuación.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Paso 9

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$a = \sqrt{{(100)}^{2} + {(150)}^{2} - 2 \cdot 100 \cdot 150 \cos (95.3561814)}$

Paso 10

Simplifica los resultados.

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Paso 10.1

Eleva $100$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{10000 + {(150)}^{2} - 2 \cdot 100 \cdot (150 \cos (95.3561814))}$

Paso 10.2

Eleva $150$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{10000 + 22500 - 2 \cdot 100 \cdot (150 \cos (95.3561814))}$

Paso 10.3

Multiplica $- 2 \cdot 100 \cdot 150$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $- 2$ por $100$ .

$a = \sqrt{10000 + 22500 - 200 \cdot (150 \cos (95.3561814))}$

Paso 10.3.2

Multiplica $- 200$ por $150$ .

$a = \sqrt{10000 + 22500 - 30000 \cos (95.3561814)}$

Paso 10.4

Suma $10000$ y $22500$ .

$a = \sqrt{32500 - 30000 \cos (95.3561814)}$

Paso 10.5

Reescribe $32500 - 30000 \cos (95.3561814)$ como $50^{2} (13 - 12 \cos (95.3561814))$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $2500$ de $32500$ .

$a = \sqrt{2500 (13) - 30000 \cos (95.3561814)}$

Paso 10.5.2

Factoriza $2500$ de $- 30000 \cos (95.3561814)$ .

$a = \sqrt{2500 (13) + 2500 (- 12 \cos (95.3561814))}$

Paso 10.5.3

Factoriza $2500$ de $2500 (13) + 2500 (- 12 \cos (95.3561814))$ .

$a = \sqrt{2500 (13 - 12 \cos (95.3561814))}$

Paso 10.5.4

Reescribe $2500$ como $50^{2}$ .

$a = \sqrt{50^{2} (13 - 12 \cos (95.3561814))}$

Paso 10.6

Retira los términos de abajo del radical.

$a = 50 \sqrt{13 - 12 \cos (95.3561814)}$

Paso 11

Para el segundo triángulo: usa el valor del segundo ángulo posible.

Resuelve el segundo triángulo.

Paso 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 13

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $C$ .

$\frac{\sin (C)}{150} = \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 14

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 14.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $150$ .

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 14.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 14.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1.1

Cancela el factor común de $150$ .

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Paso 14.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 14.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 14.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.2.1

Simplifica $150 \frac{\sin (32)}{100}$ .

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Paso 14.2.2.1.1

Cancela el factor común de $50$ .

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Paso 14.2.2.1.1.1

Factoriza $50$ de $150$ .

$\sin (C) = 50 (3) \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 14.2.2.1.1.2

Factoriza $50$ de $100$ .

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Paso 14.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Paso 14.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 3 \frac{\sin (32)}{2}$

Paso 14.2.2.1.2

Combina $3$ y $\frac{\sin (32)}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{3 \sin (32)}{2}$

Paso 14.2.2.1.3

Evalúa $\sin (32)$ .

$\sin (C) = \frac{3 \cdot 0.52991926}{2}$

Paso 14.2.2.1.4

Multiplica $3$ por $0.52991926$ .

$\sin (C) = \frac{1.58975779}{2}$

Paso 14.2.2.1.5

Divide $1.58975779$ por $2$ .

$\sin (C) = 0.79487889$

Paso 14.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $C$ del interior de seno.

$C = \arcsin (0.79487889)$

Paso 14.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.4.1

Evalúa $\arcsin (0.79487889)$ .

$C = 52.64381859$

Paso 14.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$C = 180 - 52.64381859$

Paso 14.6

Resta $52.64381859$ de $180$ .

$C = 127.3561814$

Paso 14.7

La solución a la ecuación $C = 52.64381859$ .

$C = 52.64381859, 127.3561814$

Paso 15

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 127.3561814 + 32 = 180$

Paso 16

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 16.1

Suma $127.3561814$ y $32$ .

$A + 159.3561814 = 180$

Paso 16.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 16.2.1

Resta $159.3561814$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 159.3561814$

Paso 16.2.2

Resta $159.3561814$ de $180$ .

$A = 20.64381859$

Paso 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 18

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $a$ .

$\frac{\sin (20.64381859)}{a} = \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 19

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 19.1

Factoriza cada término.

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Paso 19.1.1

Evalúa $\sin (20.64381859)$ .

$\frac{0.35255742}{a} = \frac{\sin (32)}{100}$

Paso 19.1.2

Evalúa $\sin (32)$ .

$\frac{0.35255742}{a} = \frac{0.52991926}{100}$

Paso 19.1.3

Divide $0.52991926$ por $100$ .

$\frac{0.35255742}{a} = 0.00529919$

Paso 19.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 19.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a, 1$

Paso 19.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$a$

Paso 19.3

Multiplica cada término en $\frac{0.35255742}{a} = 0.00529919$ por $a$ para eliminar las fracciones.

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Paso 19.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.35255742}{a} = 0.00529919$ por $a$ .

$\frac{0.35255742}{a} a = 0.00529919 a$

Paso 19.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 19.3.2.1

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 19.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.35255742}{a} a = 0.00529919 a$

Paso 19.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$0.35255742 = 0.00529919 a$

Paso 19.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 19.4.1

Reescribe la ecuación como $0.00529919 a = 0.35255742$ .

$0.00529919 a = 0.35255742$

Paso 19.4.2

Divide cada término en $0.00529919 a = 0.35255742$ por $0.00529919$ y simplifica.

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Paso 19.4.2.1

Divide cada término en $0.00529919 a = 0.35255742$ por $0.00529919$ .

$\frac{0.00529919 a}{0.00529919} = \frac{0.35255742}{0.00529919}$

Paso 19.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 19.4.2.2.1

Cancela el factor común de $0.00529919$ .

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Paso 19.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.00529919 a}{0.00529919} = \frac{0.35255742}{0.00529919}$

Paso 19.4.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{0.35255742}{0.00529919}$

Paso 19.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 19.4.2.3.1

Divide $0.35255742$ por $0.00529919$ .

$a = 66.53040335$

Paso 20

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

Combinación del primer triángulo:

$A = 95.3561814$

$B = 32$

$C = 52.64381859$

$a = 50 \sqrt{13 - 12 \cos (95.3561814)}$

$b = 100$

$c = 150$

Combinación del segundo triángulo:

$A = 20.64381859$

$B = 32$

$C = 127.3561814$

$a = 66.53040335$

$b = 100$

$c = 150$