Trigonometría Ejemplos

$b = 25$ , $c = 30$ , $B = 25$

Paso 1

El teorema de los senos produce un resultado de ángulo ambiguo. Esto significa que hay $2$ ángulos que resolverán correctamente la ecuación. Para el primer triángulo, usa el valor del primer ángulo posible.

Resuelve el primer triángulo.

Paso 2

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $C$ .

$\frac{\sin (C)}{30} = \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $30$ .

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $30 \frac{\sin (25)}{25}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Factoriza $5$ de $30$ .

$\sin (C) = 5 (6) \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Factoriza $5$ de $25$ .

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Paso 4.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Paso 4.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 6 \frac{\sin (25)}{5}$

Paso 4.2.2.1.2

Combina $6$ y $\frac{\sin (25)}{5}$ .

$\sin (C) = \frac{6 \sin (25)}{5}$

Paso 4.2.2.1.3

Evalúa $\sin (25)$ .

$\sin (C) = \frac{6 \cdot 0.42261826}{5}$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $6$ por $0.42261826$ .

$\sin (C) = \frac{2.53570957}{5}$

Paso 4.2.2.1.5

Divide $2.53570957$ por $5$ .

$\sin (C) = 0.50714191$

Paso 4.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $C$ del interior de seno.

$C = \arcsin (0.50714191)$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

Evalúa $\arcsin (0.50714191)$ .

$C = 30.47364089$

Paso 4.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$C = 180 - 30.47364089$

Paso 4.6

Resta $30.47364089$ de $180$ .

$C = 149.5263591$

Paso 4.7

La solución a la ecuación $C = 30.47364089$ .

$C = 30.47364089, 149.5263591$

Paso 5

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 30.47364089 + 25 = 180$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 6.1

Suma $30.47364089$ y $25$ .

$A + 55.47364089 = 180$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $55.47364089$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 55.47364089$

Paso 6.2.2

Resta $55.47364089$ de $180$ .

$A = 124.5263591$

Paso 7

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 8

Resuelve la ecuación.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Paso 9

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$a = \sqrt{{(25)}^{2} + {(30)}^{2} - 2 \cdot 25 \cdot 30 \cos (124.5263591)}$

Paso 10

Simplifica los resultados.

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Paso 10.1

Eleva $25$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{625 + {(30)}^{2} - 2 \cdot 25 \cdot (30 \cos (124.5263591))}$

Paso 10.2

Eleva $30$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{625 + 900 - 2 \cdot 25 \cdot (30 \cos (124.5263591))}$

Paso 10.3

Multiplica $- 2 \cdot 25 \cdot 30$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $- 2$ por $25$ .

$a = \sqrt{625 + 900 - 50 \cdot (30 \cos (124.5263591))}$

Paso 10.3.2

Multiplica $- 50$ por $30$ .

$a = \sqrt{625 + 900 - 1500 \cos (124.5263591)}$

Paso 10.4

Suma $625$ y $900$ .

$a = \sqrt{1525 - 1500 \cos (124.5263591)}$

Paso 10.5

Reescribe $1525 - 1500 \cos (124.5263591)$ como $5^{2} (61 - 60 \cos (124.5263591))$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $25$ de $1525$ .

$a = \sqrt{25 (61) - 1500 \cos (124.5263591)}$

Paso 10.5.2

Factoriza $25$ de $- 1500 \cos (124.5263591)$ .

$a = \sqrt{25 (61) + 25 (- 60 \cos (124.5263591))}$

Paso 10.5.3

Factoriza $25$ de $25 (61) + 25 (- 60 \cos (124.5263591))$ .

$a = \sqrt{25 (61 - 60 \cos (124.5263591))}$

Paso 10.5.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$a = \sqrt{5^{2} (61 - 60 \cos (124.5263591))}$

Paso 10.6

Retira los términos de abajo del radical.

$a = 5 \sqrt{61 - 60 \cos (124.5263591)}$

Paso 11

Para el segundo triángulo: usa el valor del segundo ángulo posible.

Resuelve el segundo triángulo.

Paso 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 13

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $C$ .

$\frac{\sin (C)}{30} = \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 14

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 14.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $30$ .

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 14.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 14.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 14.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 14.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 14.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.2.1

Simplifica $30 \frac{\sin (25)}{25}$ .

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Paso 14.2.2.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 14.2.2.1.1.1

Factoriza $5$ de $30$ .

$\sin (C) = 5 (6) \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 14.2.2.1.1.2

Factoriza $5$ de $25$ .

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Paso 14.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Paso 14.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 6 \frac{\sin (25)}{5}$

Paso 14.2.2.1.2

Combina $6$ y $\frac{\sin (25)}{5}$ .

$\sin (C) = \frac{6 \sin (25)}{5}$

Paso 14.2.2.1.3

Evalúa $\sin (25)$ .

$\sin (C) = \frac{6 \cdot 0.42261826}{5}$

Paso 14.2.2.1.4

Multiplica $6$ por $0.42261826$ .

$\sin (C) = \frac{2.53570957}{5}$

Paso 14.2.2.1.5

Divide $2.53570957$ por $5$ .

$\sin (C) = 0.50714191$

Paso 14.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $C$ del interior de seno.

$C = \arcsin (0.50714191)$

Paso 14.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.4.1

Evalúa $\arcsin (0.50714191)$ .

$C = 30.47364089$

Paso 14.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$C = 180 - 30.47364089$

Paso 14.6

Resta $30.47364089$ de $180$ .

$C = 149.5263591$

Paso 14.7

La solución a la ecuación $C = 30.47364089$ .

$C = 30.47364089, 149.5263591$

Paso 15

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 149.5263591 + 25 = 180$

Paso 16

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 16.1

Suma $149.5263591$ y $25$ .

$A + 174.5263591 = 180$

Paso 16.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 16.2.1

Resta $174.5263591$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 174.5263591$

Paso 16.2.2

Resta $174.5263591$ de $180$ .

$A = 5.47364089$

Paso 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 18

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $a$ .

$\frac{\sin (5.47364089)}{a} = \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 19

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 19.1

Factoriza cada término.

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Paso 19.1.1

Evalúa $\sin (5.47364089)$ .

$\frac{0.0953878}{a} = \frac{\sin (25)}{25}$

Paso 19.1.2

Evalúa $\sin (25)$ .

$\frac{0.0953878}{a} = \frac{0.42261826}{25}$

Paso 19.1.3

Divide $0.42261826$ por $25$ .

$\frac{0.0953878}{a} = 0.01690473$

Paso 19.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 19.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a, 1$

Paso 19.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$a$

Paso 19.3

Multiplica cada término en $\frac{0.0953878}{a} = 0.01690473$ por $a$ para eliminar las fracciones.

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Paso 19.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.0953878}{a} = 0.01690473$ por $a$ .

$\frac{0.0953878}{a} a = 0.01690473 a$

Paso 19.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 19.3.2.1

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 19.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.0953878}{a} a = 0.01690473 a$

Paso 19.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$0.0953878 = 0.01690473 a$

Paso 19.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 19.4.1

Reescribe la ecuación como $0.01690473 a = 0.0953878$ .

$0.01690473 a = 0.0953878$

Paso 19.4.2

Divide cada término en $0.01690473 a = 0.0953878$ por $0.01690473$ y simplifica.

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Paso 19.4.2.1

Divide cada término en $0.01690473 a = 0.0953878$ por $0.01690473$ .

$\frac{0.01690473 a}{0.01690473} = \frac{0.0953878}{0.01690473}$

Paso 19.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 19.4.2.2.1

Cancela el factor común de $0.01690473$ .

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Paso 19.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.01690473 a}{0.01690473} = \frac{0.0953878}{0.01690473}$

Paso 19.4.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{0.0953878}{0.01690473}$

Paso 19.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 19.4.2.3.1

Divide $0.0953878$ por $0.01690473$ .

$a = 5.64266951$

Paso 20

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

Combinación del primer triángulo:

$A = 124.5263591$

$B = 25$

$C = 30.47364089$

$a = 5 \sqrt{61 - 60 \cos (124.5263591)}$

$b = 25$

$c = 30$

Combinación del segundo triángulo:

$A = 5.47364089$

$B = 25$

$C = 149.5263591$

$a = 5.64266951$

$b = 25$

$c = 30$