Trigonometría Ejemplos

$b = 8$ , $c = 10$ , $B = 30$

Paso 1

El teorema de los senos produce un resultado de ángulo ambiguo. Esto significa que hay $2$ ángulos que resolverán correctamente la ecuación. Para el primer triángulo, usa el valor del primer ángulo posible.

Resuelve el primer triángulo.

Paso 2

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $C$ .

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $10$ .

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $10 \frac{\sin (30)}{8}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Paso 4.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Paso 4.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

Paso 4.2.2.1.2

Combina $5$ y $\frac{\sin (30)}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

Paso 4.2.2.1.3

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

Paso 4.2.2.1.4

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 4.2.2.1.6

Multiplica $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 4.2.2.1.6.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

Paso 4.2.2.1.6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

Paso 4.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $C$ del interior de seno.

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

Evalúa $\arcsin (\frac{5}{8})$ .

$C = 38.68218745$

Paso 4.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$C = 180 - 38.68218745$

Paso 4.6

Resta $38.68218745$ de $180$ .

$C = 141.31781254$

Paso 4.7

La solución a la ecuación $C = 38.68218745$ .

$C = 38.68218745, 141.31781254$

Paso 5

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 38.68218745 + 30 = 180$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 6.1

Suma $38.68218745$ y $30$ .

$A + 68.68218745 = 180$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $68.68218745$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 68.68218745$

Paso 6.2.2

Resta $68.68218745$ de $180$ .

$A = 111.31781254$

Paso 7

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 8

Resuelve la ecuación.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Paso 9

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$a = \sqrt{{(8)}^{2} + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cos (111.31781254)}$

Paso 10

Simplifica los resultados.

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Paso 10.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{64 + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Paso 10.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Paso 10.3

Multiplica $- 2 \cdot 8 \cdot 10$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 16 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Paso 10.3.2

Multiplica $- 16$ por $10$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 160 \cos (111.31781254)}$

Paso 10.4

Suma $64$ y $100$ .

$a = \sqrt{164 - 160 \cos (111.31781254)}$

Paso 10.5

Reescribe $164 - 160 \cos (111.31781254)$ como $2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $4$ de $164$ .

$a = \sqrt{4 (41) - 160 \cos (111.31781254)}$

Paso 10.5.2

Factoriza $4$ de $- 160 \cos (111.31781254)$ .

$a = \sqrt{4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))}$

Paso 10.5.3

Factoriza $4$ de $4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))$ .

$a = \sqrt{4 (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

Paso 10.5.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$a = \sqrt{2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

Paso 10.6

Retira los términos de abajo del radical.

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

Paso 11

Para el segundo triángulo: usa el valor del segundo ángulo posible.

Resuelve el segundo triángulo.

Paso 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 13

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $C$ .

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 14

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 14.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $10$ .

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 14.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 14.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 14.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 14.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 14.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.2.1

Simplifica $10 \frac{\sin (30)}{8}$ .

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Paso 14.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 14.2.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Paso 14.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Paso 14.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

Paso 14.2.2.1.2

Combina $5$ y $\frac{\sin (30)}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

Paso 14.2.2.1.3

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

Paso 14.2.2.1.4

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

Paso 14.2.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 14.2.2.1.6

Multiplica $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 14.2.2.1.6.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

Paso 14.2.2.1.6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

Paso 14.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $C$ del interior de seno.

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

Paso 14.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.4.1

Evalúa $\arcsin (\frac{5}{8})$ .

$C = 38.68218745$

Paso 14.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$C = 180 - 38.68218745$

Paso 14.6

Resta $38.68218745$ de $180$ .

$C = 141.31781254$

Paso 14.7

La solución a la ecuación $C = 38.68218745$ .

$C = 38.68218745, 141.31781254$

Paso 15

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 141.31781254 + 30 = 180$

Paso 16

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 16.1

Suma $141.31781254$ y $30$ .

$A + 171.31781254 = 180$

Paso 16.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 16.2.1

Resta $171.31781254$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 171.31781254$

Paso 16.2.2

Resta $171.31781254$ de $180$ .

$A = 8.68218745$

Paso 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 18

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $a$ .

$\frac{\sin (8.68218745)}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 19

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 19.1

Factoriza cada término.

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Paso 19.1.1

Evalúa $\sin (8.68218745)$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

Paso 19.1.2

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{8}$

Paso 19.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Paso 19.1.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Paso 19.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2 \cdot 8}$

Paso 19.1.4.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$

Paso 19.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 19.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a, 16$

Paso 19.2.2

Since $a, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

Paso 19.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 19.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 19.2.5

Los factores primos para $16$ son $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 19.2.5.1

$16$ tiene factores de $2$ y $8$ .

$2 \cdot 8$

Paso 19.2.5.2

$8$ tiene factores de $2$ y $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Paso 19.2.5.3

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 19.2.6

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 19.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 19.2.6.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 \cdot 2$

Paso 19.2.6.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$16$

Paso 19.2.7

El factor para $a^{1}$ es $a$ en sí mismo.

$a^{1} = a$

$a$ ocurre $1$ vez.

Paso 19.2.8

El MCM de $a^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$a$

Paso 19.2.9

El MCM para $a, 16$ es la parte numérica $16$ multiplicada por la parte variable.

$16 a$

Paso 19.3

Multiplica cada término en $\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ por $16 a$ para eliminar las fracciones.

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Paso 19.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ por $16 a$ .

$\frac{0.1509535}{a} (16 a) = \frac{1}{16} (16 a)$

Paso 19.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 19.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 \frac{0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Paso 19.3.2.2

Multiplica $16 \frac{0.1509535}{a}$ .

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Paso 19.3.2.2.1

Combina $16$ y $\frac{0.1509535}{a}$ .

$\frac{16 \cdot 0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Paso 19.3.2.2.2

Multiplica $16$ por $0.1509535$ .

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Paso 19.3.2.3

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 19.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Paso 19.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

Paso 19.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 19.3.3.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 19.3.3.1.1

Factoriza $16$ de $16 a$ .

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 (a))$

Paso 19.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

Paso 19.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$2.41525603 = a$

Paso 19.4

Reescribe la ecuación como $a = 2.41525603$ .

$a = 2.41525603$

Paso 20

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

Combinación del primer triángulo:

$A = 111.31781254$

$B = 30$

$C = 38.68218745$

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

$b = 8$

$c = 10$

Combinación del segundo triángulo:

$A = 8.68218745$

$B = 30$

$C = 141.31781254$

$a = 2.41525603$

$b = 8$

$c = 10$