Trigonometría Ejemplos

$b = 65$ , $a = 45$ , $C = 56$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$c = \sqrt{{(45)}^{2} + {(65)}^{2} - 2 \cdot 45 \cdot 65 \cos (56)}$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Eleva $45$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{2025 + {(65)}^{2} - 2 \cdot 45 \cdot (65 \cos (56))}$

Paso 4.2

Eleva $65$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{2025 + 4225 - 2 \cdot 45 \cdot (65 \cos (56))}$

Paso 4.3

Multiplica $- 2 \cdot 45 \cdot 65$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 2$ por $45$ .

$c = \sqrt{2025 + 4225 - 90 \cdot (65 \cos (56))}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 90$ por $65$ .

$c = \sqrt{2025 + 4225 - 5850 \cos (56)}$

Paso 4.4

Evalúa $\cos (56)$ .

$c = \sqrt{2025 + 4225 - 5850 \cdot 0.5591929}$

Paso 4.5

Multiplica $- 5850$ por $0.5591929$ .

$c = \sqrt{2025 + 4225 - 3271.2784853}$

Paso 4.6

Suma $2025$ y $4225$ .

$c = \sqrt{6250 - 3271.2784853}$

Paso 4.7

Resta $3271.2784853$ de $6250$ .

$c = \sqrt{2978.72151469}$

Paso 4.8

Evalúa la raíz.

$c = 54.57766498$

Paso 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $A$ .

$\frac{\sin (A)}{45} = \frac{\sin (56)}{54.57766498}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $45$ .

$45 \frac{\sin (A)}{45} = 45 \frac{\sin (56)}{54.57766498}$

Paso 7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $45$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$45 \frac{\sin (A)}{45} = 45 \frac{\sin (56)}{54.57766498}$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 45 \frac{\sin (56)}{54.57766498}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $45 \frac{\sin (56)}{54.57766498}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Evalúa $\sin (56)$ .

$\sin (A) = 45 (\frac{0.82903757}{54.57766498})$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $0.82903757$ por $54.57766498$ .

$\sin (A) = 45 \cdot 0.01519005$

Paso 7.2.2.1.3

Multiplica $45$ por $0.01519005$ .

$\sin (A) = 0.68355234$

Paso 7.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (0.68355234)$

Paso 7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.1

Evalúa $\arcsin (0.68355234)$ .

$A = 43.1218632$

Paso 7.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 43.1218632$

Paso 7.6

Resta $43.1218632$ de $180$ .

$A = 136.87813679$

Paso 7.7

La solución a la ecuación $A = 43.1218632$ .

$A = 43.1218632, 136.87813679$

Paso 7.8

Excluye el ángulo no válido.

$A = 43.1218632$

Paso 8

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$43.1218632 + 56 + B = 180$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 9.1

Suma $43.1218632$ y $56$ .

$99.1218632 + B = 180$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $99.1218632$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 180 - 99.1218632$

Paso 9.2.2

Resta $99.1218632$ de $180$ .

$B = 80.87813679$

Paso 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 43.1218632$

$B = 80.87813679$

$C = 56$

$a = 45$

$b = 65$

$c = 54.57766498$