Trigonometría Ejemplos

$C = 30$ , $a = 32$ , $c = 16$

Paso 1

El teorema de los senos produce un resultado de ángulo ambiguo. Esto significa que hay $2$ ángulos que resolverán correctamente la ecuación. Para el primer triángulo, usa el valor del primer ángulo posible.

Resuelve el primer triángulo.

Paso 2

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $A$ .

$\frac{\sin (A)}{32} = \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $32$ .

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $32$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $32 \frac{\sin (30)}{16}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$\sin (A) = 16 (2) \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\sin (A) = 16 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 4.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 2 \sin (30)$

Paso 4.2.2.1.2

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Paso 4.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Paso 4.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 1$

Paso 4.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (1)$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $90$ .

$A = 90$

Paso 4.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 90$

Paso 4.6

Resta $90$ de $180$ .

$A = 90$

Paso 4.7

La solución a la ecuación $A = 90$ .

$A = 90, 90$

Paso 5

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$90 + 30 + B = 180$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 6.1

Suma $90$ y $30$ .

$120 + B = 180$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $120$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 180 - 120$

Paso 6.2.2

Resta $120$ de $180$ .

$B = 60$

Paso 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 8

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $b$ .

$\frac{\sin (60)}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $b$ .

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Paso 9.1

Factoriza cada término.

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Paso 9.1.1

El valor exacto de $\sin (60)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Paso 9.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Paso 9.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Paso 9.1.4

El valor exacto de $\sin (90)$ es $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$

Paso 9.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 9.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 b, 32$

Paso 9.2.2

Since $2 b, 32$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 32$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Paso 9.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 9.2.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 9.2.5

Los factores primos para $32$ son $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 9.2.5.1

$32$ tiene factores de $2$ y $16$ .

$2 \cdot 16$

Paso 9.2.5.2

$16$ tiene factores de $2$ y $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 8$

Paso 9.2.5.3

$8$ tiene factores de $2$ y $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Paso 9.2.5.4

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 9.2.6

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 9.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 9.2.6.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 9.2.6.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$16 \cdot 2$

Paso 9.2.6.4

Multiplica $16$ por $2$ .

$32$

Paso 9.2.7

El factor para $b^{1}$ es $b$ en sí mismo.

$b^{1} = b$

$b$ ocurre $1$ vez.

Paso 9.2.8

El MCM de $b^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$b$

Paso 9.2.9

El MCM para $2 b, 32$ es la parte numérica $32$ multiplicada por la parte variable.

$32 b$

Paso 9.3

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ por $32 b$ para eliminar las fracciones.

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Paso 9.3.1

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ por $32 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (32 b) = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 9.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $2 b$ .

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 9.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 16 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 9.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$16 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 9.3.2.3

Combina $16$ y $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 9.3.2.4

Cancela el factor común de $b$ .

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Paso 9.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 9.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.3.1

Cancela el factor común de $32$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.1.1

Factoriza $32$ de $32 b$ .

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 (b))$

Paso 9.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 9.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$16 \sqrt{3} = b$

Paso 9.4

Reescribe la ecuación como $b = 16 \sqrt{3}$ .

$b = 16 \sqrt{3}$

Paso 10

Para el segundo triángulo: usa el valor del segundo ángulo posible.

Resuelve el segundo triángulo.

Paso 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 12

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $A$ .

$\frac{\sin (A)}{32} = \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 13

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 13.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $32$ .

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 13.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 13.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.1.1

Cancela el factor común de $32$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 13.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 13.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.2.1

Simplifica $32 \frac{\sin (30)}{16}$ .

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Paso 13.2.2.1.1

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.1.1.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$\sin (A) = 16 (2) \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 13.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\sin (A) = 16 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{16}$

Paso 13.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 2 \sin (30)$

Paso 13.2.2.1.2

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Paso 13.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Paso 13.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 1$

Paso 13.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (1)$

Paso 13.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.4.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $90$ .

$A = 90$

Paso 13.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 90$

Paso 13.6

Resta $90$ de $180$ .

$A = 90$

Paso 13.7

La solución a la ecuación $A = 90$ .

$A = 90, 90$

Paso 14

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$90 + 30 + B = 180$

Paso 15

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 15.1

Suma $90$ y $30$ .

$120 + B = 180$

Paso 15.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 15.2.1

Resta $120$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 180 - 120$

Paso 15.2.2

Resta $120$ de $180$ .

$B = 60$

Paso 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 17

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $b$ .

$\frac{\sin (60)}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Paso 18

Resuelve la ecuación en $b$ .

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Paso 18.1

Factoriza cada término.

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Paso 18.1.1

El valor exacto de $\sin (60)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Paso 18.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Paso 18.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Paso 18.1.4

El valor exacto de $\sin (90)$ es $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$

Paso 18.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 18.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 b, 32$

Paso 18.2.2

Since $2 b, 32$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 32$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Paso 18.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 18.2.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 18.2.5

Los factores primos para $32$ son $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 18.2.5.1

$32$ tiene factores de $2$ y $16$ .

$2 \cdot 16$

Paso 18.2.5.2

$16$ tiene factores de $2$ y $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 8$

Paso 18.2.5.3

$8$ tiene factores de $2$ y $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Paso 18.2.5.4

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 18.2.6

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 18.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 18.2.6.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 18.2.6.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$16 \cdot 2$

Paso 18.2.6.4

Multiplica $16$ por $2$ .

$32$

Paso 18.2.7

El factor para $b^{1}$ es $b$ en sí mismo.

$b^{1} = b$

$b$ ocurre $1$ vez.

Paso 18.2.8

El MCM de $b^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$b$

Paso 18.2.9

El MCM para $2 b, 32$ es la parte numérica $32$ multiplicada por la parte variable.

$32 b$

Paso 18.3

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ por $32 b$ para eliminar las fracciones.

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Paso 18.3.1

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ por $32 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (32 b) = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 18.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 18.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 18.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 18.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $2 b$ .

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 18.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 16 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 18.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$16 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 18.3.2.3

Combina $16$ y $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 18.3.2.4

Cancela el factor común de $b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 18.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 18.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 18.3.3.1

Cancela el factor común de $32$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.3.1.1

Factoriza $32$ de $32 b$ .

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 (b))$

Paso 18.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Paso 18.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$16 \sqrt{3} = b$

Paso 18.4

Reescribe la ecuación como $b = 16 \sqrt{3}$ .

$b = 16 \sqrt{3}$

Paso 19

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

Combinación del primer triángulo:

$A = 90$

$B = 60$

$C = 30$

$a = 32$

$b = 16 \sqrt{3}$

$c = 16$

Combinación del segundo triángulo:

$A = 90$

$B = 60$

$C = 30$

$a = 32$

$b = 16 \sqrt{3}$

$c = 16$