Trigonometría Ejemplos

$C = 41$ , $B = 105$ , $b = 12.6$

Paso 1

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $c$ .

$\frac{\sin (41)}{c} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $c$ .

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Paso 3.1

Factoriza cada término.

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Paso 3.1.1

Evalúa $\sin (41)$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Paso 3.1.2

El valor exacto de $\sin (105)$ es $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Paso 3.1.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (75)}{12.6}$

Paso 3.1.2.2

Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (30 + 45)}{12.6}$

Paso 3.1.2.3

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Paso 3.1.2.4

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Paso 3.1.2.5

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Paso 3.1.2.6

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{12.6}$

Paso 3.1.2.7

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Paso 3.1.2.8

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.8.1.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1.2.8.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Paso 3.1.2.8.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Paso 3.1.2.8.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1.2.8.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Paso 3.1.2.8.1.2.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Paso 3.1.2.8.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Paso 3.1.2.8.1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Paso 3.1.2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Paso 3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{12.6}$

Paso 3.1.4

Divide $1$ por $12.6$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$

Paso 3.1.5

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$ .

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Paso 3.1.5.1

Combina $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ y $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.\overline{079365}}{4}$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ por $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{0.30664311}{4}$

Paso 3.1.6

Divide $0.30664311$ por $4$ .

$\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$c, 1$

Paso 3.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$c$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$ por $c$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$ por $c$ .

$\frac{0.65605902}{c} c = 0.07666077 c$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $c$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.65605902}{c} c = 0.07666077 c$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$0.65605902 = 0.07666077 c$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $0.07666077 c = 0.65605902$ .

$0.07666077 c = 0.65605902$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $0.07666077 c = 0.65605902$ por $0.07666077$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $0.07666077 c = 0.65605902$ por $0.07666077$ .

$\frac{0.07666077 c}{0.07666077} = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $0.07666077$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.07666077 c}{0.07666077} = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Divide $0.65605902$ por $0.07666077$ .

$c = 8.55794879$

Paso 4

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 41 + 105 = 180$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 5.1

Suma $41$ y $105$ .

$A + 146 = 180$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $146$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 146$

Paso 5.2.2

Resta $146$ de $180$ .

$A = 34$

Paso 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 7

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $a$ .

$\frac{\sin (34)}{a} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 8.1

Factoriza cada término.

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Paso 8.1.1

Evalúa $\sin (34)$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Paso 8.1.2

El valor exacto de $\sin (105)$ es $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Paso 8.1.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (75)}{12.6}$

Paso 8.1.2.2

Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (30 + 45)}{12.6}$

Paso 8.1.2.3

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Paso 8.1.2.4

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Paso 8.1.2.5

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Paso 8.1.2.6

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{12.6}$

Paso 8.1.2.7

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Paso 8.1.2.8

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 8.1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.2.8.1.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.2.8.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Paso 8.1.2.8.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Paso 8.1.2.8.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 8.1.2.8.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Paso 8.1.2.8.1.2.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Paso 8.1.2.8.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Paso 8.1.2.8.1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Paso 8.1.2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Paso 8.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{12.6}$

Paso 8.1.4

Divide $1$ por $12.6$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$

Paso 8.1.5

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$ .

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Paso 8.1.5.1

Combina $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ y $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.\overline{079365}}{4}$

Paso 8.1.5.2

Multiplica $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ por $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{0.30664311}{4}$

Paso 8.1.6

Divide $0.30664311$ por $4$ .

$\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$

Paso 8.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 8.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a, 1$

Paso 8.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$a$

Paso 8.3

Multiplica cada término en $\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$ por $a$ para eliminar las fracciones.

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Paso 8.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$ por $a$ .

$\frac{0.5591929}{a} a = 0.07666077 a$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.1

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.5591929}{a} a = 0.07666077 a$

Paso 8.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$0.5591929 = 0.07666077 a$

Paso 8.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 8.4.1

Reescribe la ecuación como $0.07666077 a = 0.5591929$ .

$0.07666077 a = 0.5591929$

Paso 8.4.2

Divide cada término en $0.07666077 a = 0.5591929$ por $0.07666077$ y simplifica.

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Paso 8.4.2.1

Divide cada término en $0.07666077 a = 0.5591929$ por $0.07666077$ .

$\frac{0.07666077 a}{0.07666077} = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Paso 8.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.2.2.1

Cancela el factor común de $0.07666077$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.07666077 a}{0.07666077} = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Paso 8.4.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Paso 8.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.3.1

Divide $0.5591929$ por $0.07666077$ .

$a = 7.29438057$

Paso 9

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 34$

$B = 105$

$C = 41$

$a = 7.29438057$

$b = 12.6$

$c = 8.55794879$