Trigonometría Ejemplos

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$ por $\frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}} \cdot \frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$ por $\frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{(5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{25 {\sqrt{15}}^{2} - 25 \sqrt{75} i + 25 i \sqrt{75} - 25 i^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{500}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}$ y $500$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $5$ de $(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})$ .

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{500}$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $5$ de $500$ .

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{5 (100)}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{5 \cdot 100}$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Paso 3

Expande $(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{15} - i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.2

Multiplica $5$ por $15$ .

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.3

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.1.3.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.3.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.5

Multiplica $\sqrt{5} (- i \sqrt{5})$ .

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Paso 4.1.5.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.5.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 \sqrt{3} - i {\sqrt{5}}^{1 + 1} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i {\sqrt{5}}^{2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{1} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5 + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.7

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.8

Multiplica $i \sqrt{15} \sqrt{15}$ .

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Paso 4.1.8.1

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}) + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.8.2

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}) + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {\sqrt{15}}^{1 + 1} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.8.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {\sqrt{15}}^{2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.9

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 4.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.9.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.9.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{1} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.9.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15 + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.10

Mueve $15$ a la izquierda de $i$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 \cdot i + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.11

Multiplica $i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})$ .

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Paso 4.1.11.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- (i^{1} i) \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.11.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.11.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- i^{1 + 1} \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.11.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- i^{2} \sqrt{5})}{100}$

Paso 4.1.11.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - i^{2} \sqrt{15 \cdot 5}}{100}$

Paso 4.1.11.6

Multiplica $15$ por $5$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - i^{2} \sqrt{75}}{100}$

Paso 4.1.12

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - - 1 \sqrt{75}}{100}$

Paso 4.1.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + 1 \sqrt{75}}{100}$

Paso 4.1.14

Multiplica $\sqrt{75}$ por $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{75}}{100}$

Paso 4.1.15

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.1.15.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{25 (3)}}{100}$

Paso 4.1.15.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{100}$

Paso 4.1.16

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + 5 \sqrt{3}}{100}$

Paso 4.2

Suma $5 \sqrt{3}$ y $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 5 i + 15 i + 10 \sqrt{3}}{100}$

Paso 4.3

Suma $- 5 i$ y $15 i$ .

$\frac{10 i + 10 \sqrt{3}}{100}$

Paso 5

Reordena $10 i$ y $10 \sqrt{3}$ .

$\frac{10 \sqrt{3} + 10 i}{100}$

Paso 6

Cancela el factor común de $10 \sqrt{3} + 10 i$ y $100$ .

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Paso 6.1

Factoriza $10$ de $10 \sqrt{3}$ .

$\frac{10 (\sqrt{3}) + 10 i}{100}$

Paso 6.2

Factoriza $10$ de $10 i$ .

$\frac{10 (\sqrt{3}) + 10 (i)}{100}$

Paso 6.3

Factoriza $10$ de $10 (\sqrt{3}) + 10 (i)$ .

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{100}$

Paso 6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.1

Factoriza $10$ de $100$ .

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{10 (10)}$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{10 \cdot 10}$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} + i}{10}$