Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = \frac{π}{6}$

Step 1

Sustituye $\frac{π}{6}$ por $f (x)$ .

$\frac{π}{6} = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Step 2

Resuelve $x$

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Reescribe la ecuación como $2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$ .

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6}$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1$

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1$

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $\frac{π}{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

Multiplica por el mínimo común denominador $6$ , luego simplifica.

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Aplica la propiedad distributiva.

$6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Simplifica.

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Multiplica $2$ por $6$ .

$12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$12 u - 12 u^{2} + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Cancela el factor común de $6$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Cancela el factor común.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Reescribe la expresión.

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 \cdot 1 = 0$

Multiplica $6$ por $1$ .

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 = 0$

Reordena $12 u$ y $- 12 u^{2}$ .

$- 12 u^{2} + 12 u - π + 6 = 0$

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = - 12$ , $b = 12$ y $c = - π + 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- π + 6))}}{2 \cdot - 12}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Aplica la propiedad distributiva.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $- 1$ por $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $48$ por $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Suma $144$ y $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Simplifica $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Simplifica el numerador.

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Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Aplica la propiedad distributiva.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $- 1$ por $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $48$ por $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Suma $144$ y $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Simplifica $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Cambia $\pm$ a $+$ .

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Simplifica el numerador.

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Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Aplica la propiedad distributiva.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $- 1$ por $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $48$ por $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Suma $144$ y $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Simplifica $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Cambia $\pm$ a $-$ .

$u = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Elimina los paréntesis.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$ .

$x = - 0.2000451$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Resuelve $x$

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Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 + 0.2000451$

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Suma $3.14159265$ y $0.2000451$ .

$x = 3.34163776$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- 0.2000451$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.2000451 + 2 π$

Resta $0.2000451$ de $2 π$ .

$6.08314019$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 6.08314019$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Enumera todas las soluciones.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$