Trigonometría Ejemplos

$b = 20$ , $c = 18$ , $B = 120$

Paso 1

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $C$ .

$\frac{\sin (C)}{18} = \frac{\sin (120)}{20}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $18$ .

$18 \frac{\sin (C)}{18} = 18 \frac{\sin (120)}{20}$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $18$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$18 \frac{\sin (C)}{18} = 18 \frac{\sin (120)}{20}$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 18 \frac{\sin (120)}{20}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $18 \frac{\sin (120)}{20}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\sin (C) = 2 (9) \frac{\sin (120)}{20}$

Paso 3.2.2.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $20$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 9 \frac{\sin (120)}{2 \cdot 10}$

Paso 3.2.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (C) = 2 \cdot 9 \frac{\sin (120)}{2 \cdot 10}$

Paso 3.2.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (C) = 9 \frac{\sin (120)}{10}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Combina $9$ y $\frac{\sin (120)}{10}$ .

$\sin (C) = \frac{9 \sin (120)}{10}$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sin (C) = \frac{9 \sin (60)}{10}$

Paso 3.2.2.1.2.2

El valor exacto de $\sin (60)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{9 \frac{\sqrt{3}}{2}}{10}$

Paso 3.2.2.1.3

Combina $9$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{9 \sqrt{3}}{2}}{10}$

Paso 3.2.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (C) = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{10}$

Paso 3.2.2.1.5

Multiplica $\frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{10}$ .

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Paso 3.2.2.1.5.1

Multiplica $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{10}$ .

$\sin (C) = \frac{9 \sqrt{3}}{2 \cdot 10}$

Paso 3.2.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$\sin (C) = \frac{9 \sqrt{3}}{20}$

Paso 3.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $C$ del interior de seno.

$C = \arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{20})$

Paso 3.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.1

Evalúa $\arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{20})$ .

$C = 51.20776365$

Paso 3.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$C = 180 - 51.20776365$

Paso 3.6

Resta $51.20776365$ de $180$ .

$C = 128.79223634$

Paso 3.7

La solución a la ecuación $C = 51.20776365$ .

$C = 51.20776365, 128.79223634$

Paso 3.8

Excluye el ángulo no válido.

$C = 51.20776365$

Paso 4

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 51.20776365 + 120 = 180$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 5.1

Suma $51.20776365$ y $120$ .

$A + 171.20776365 = 180$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $171.20776365$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 171.20776365$

Paso 5.2.2

Resta $171.20776365$ de $180$ .

$A = 8.79223634$

Paso 6

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 7

Resuelve la ecuación.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Paso 8

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$a = \sqrt{{(20)}^{2} + {(18)}^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cos (8.79223634)}$

Paso 9

Simplifica los resultados.

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Paso 9.1

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{400 + {(18)}^{2} - 2 \cdot 20 \cdot (18 \cos (8.79223634))}$

Paso 9.2

Eleva $18$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{400 + 324 - 2 \cdot 20 \cdot (18 \cos (8.79223634))}$

Paso 9.3

Multiplica $- 2 \cdot 20 \cdot 18$ .

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Paso 9.3.1

Multiplica $- 2$ por $20$ .

$a = \sqrt{400 + 324 - 40 \cdot (18 \cos (8.79223634))}$

Paso 9.3.2

Multiplica $- 40$ por $18$ .

$a = \sqrt{400 + 324 - 720 \cos (8.79223634)}$

Paso 9.4

Suma $400$ y $324$ .

$a = \sqrt{724 - 720 \cos (8.79223634)}$

Paso 9.5

Reescribe $724 - 720 \cos (8.79223634)$ como $2^{2} (181 - 180 \cos (8.79223634))$ .

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Paso 9.5.1

Factoriza $4$ de $724$ .

$a = \sqrt{4 (181) - 720 \cos (8.79223634)}$

Paso 9.5.2

Factoriza $4$ de $- 720 \cos (8.79223634)$ .

$a = \sqrt{4 (181) + 4 (- 180 \cos (8.79223634))}$

Paso 9.5.3

Factoriza $4$ de $4 (181) + 4 (- 180 \cos (8.79223634))$ .

$a = \sqrt{4 (181 - 180 \cos (8.79223634))}$

Paso 9.5.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$a = \sqrt{2^{2} (181 - 180 \cos (8.79223634))}$

Paso 9.6

Retira los términos de abajo del radical.

$a = 2 \sqrt{181 - 180 \cos (8.79223634)}$

Paso 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 8.79223634$

$B = 120$

$C = 51.20776365$

$a = 2 \sqrt{181 - 180 \cos (8.79223634)}$

$b = 20$

$c = 18$