Trigonometría Ejemplos

$a = 28$ , $c = 32$ , $B = 30$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$b = \sqrt{{(28)}^{2} + {(32)}^{2} - 2 \cdot 28 \cdot 32 \cos (30)}$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Eleva $28$ a la potencia de $2$ .

$b = \sqrt{784 + {(32)}^{2} - 2 \cdot 28 \cdot (32 \cos (30))}$

Paso 4.2

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 2 \cdot 28 \cdot (32 \cos (30))}$

Paso 4.3

Multiplica $- 2 \cdot 28 \cdot 32$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 2$ por $28$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 56 \cdot (32 \cos (30))}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 56$ por $32$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 1792 \cos (30)}$

Paso 4.4

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 1792 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $2$ de $- 1792$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 + 2 (- 896) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

Paso 4.5.2

Cancela el factor común.

$b = \sqrt{784 + 1024 + 2 \cdot (- 896 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Paso 4.5.3

Reescribe la expresión.

$b = \sqrt{784 + 1024 - 896 \sqrt{3}}$

Paso 4.6

Suma $784$ y $1024$ .

$b = \sqrt{1808 - 896 \sqrt{3}}$

Paso 4.7

Reescribe $1808 - 896 \sqrt{3}$ como $4^{2} (113 - 56 \sqrt{3})$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza $16$ de $1808$ .

$b = \sqrt{16 (113) - 896 \sqrt{3}}$

Paso 4.7.2

Factoriza $16$ de $- 896 \sqrt{3}$ .

$b = \sqrt{16 (113) + 16 (- 56 \sqrt{3})}$

Paso 4.7.3

Factoriza $16$ de $16 (113) + 16 (- 56 \sqrt{3})$ .

$b = \sqrt{16 (113 - 56 \sqrt{3})}$

Paso 4.7.4

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$b = \sqrt{4^{2} (113 - 56 \sqrt{3})}$

Paso 4.8

Retira los términos de abajo del radical.

$b = 4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

Paso 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $A$ .

$\frac{\sin (A)}{28} = \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $28$ .

$28 \frac{\sin (A)}{28} = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $28$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$28 \frac{\sin (A)}{28} = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$\sin (A) = 4 (7) \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.1.2

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 4 (7) \frac{\sin (30)}{4 (\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

Paso 7.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (A) = 4 \cdot 7 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 7 \frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.2

Combina $7$ y $\frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.3

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (\frac{1}{2})}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.4

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = \frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (A) = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.6

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $\frac{1}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.7

Multiplica $\frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ por $\frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1.8.1

Multiplica $\frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ por $\frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.8.2

Mueve $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

Paso 7.2.2.1.8.3

Eleva $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

Paso 7.2.2.1.8.4

Eleva $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1})}$

Paso 7.2.2.1.8.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.2.1.8.6

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{2}}$

Paso 7.2.2.1.8.7

Reescribe ${\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{2}$ como $113 - 56 \sqrt{3}$ .

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Paso 7.2.2.1.8.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ como ${(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {({(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.2.2.1.8.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.2.2.1.8.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.2.1.8.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.1.8.7.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.2.1.8.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{1}}$

Paso 7.2.2.1.8.7.5

Simplifica.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$

Paso 7.2.2.1.9

Multiplica $\frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$ por $\frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})} \cdot \frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$

Paso 7.2.2.1.10

Multiplica $\frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$ por $\frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 (113 - 56 \sqrt{3}) (113 + 56 \sqrt{3})}$

Paso 7.2.2.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.1.11.1

Mueve $113 - 56 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 ((113 - 56 \sqrt{3}) (113 + 56 \sqrt{3}))}$

Paso 7.2.2.1.11.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 (12769 + 6328 \sqrt{3} - 6328 \sqrt{3} - 3136 {\sqrt{3}}^{2})}$

Paso 7.2.2.1.11.3

Simplifica.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 \cdot 3361}$

Paso 7.2.2.1.11.4

Multiplica $2$ por $3361$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{6722}$

Paso 7.2.2.1.11.5

Agrupa $113 + 56 \sqrt{3}$ y $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 ((113 + 56 \sqrt{3}) \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}{6722}$

Paso 7.2.2.1.12

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}{6722}$

Paso 7.2.2.1.13

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{(113 - 56 \sqrt{3}) \cdot 3})}{6722}$

Paso 7.2.2.1.14

Mueve $3$ a la izquierda de $113 - 56 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722}$

Paso 7.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (\frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722})$

Paso 7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.1

Evalúa $\arcsin (\frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722})$ .

$A = 61.02830255$

Paso 7.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 61.02830255$

Paso 7.6

Resta $61.02830255$ de $180$ .

$A = 118.97169744$

Paso 7.7

La solución a la ecuación $A = 61.02830255$ .

$A = 61.02830255, 118.97169744$

Paso 8

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$61.02830255 + C + 30 = 180$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 9.1

Suma $61.02830255$ y $30$ .

$C + 91.02830255 = 180$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $91.02830255$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 91.02830255$

Paso 9.2.2

Resta $91.02830255$ de $180$ .

$C = 88.97169744$

Paso 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 61.02830255$

$B = 30$

$C = 88.97169744$

$a = 28$

$b = 4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

$c = 32$