Trigonometría Ejemplos

$b = 118$ , $c = 36$ , $C = 14$

Paso 1

El teorema de los senos produce un resultado de ángulo ambiguo. Esto significa que hay $2$ ángulos que resolverán correctamente la ecuación. Para el primer triángulo, usa el valor del primer ángulo posible.

Resuelve el primer triángulo.

Paso 2

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{118} = \frac{\sin (14)}{36}$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $118$ .

$118 \frac{\sin (B)}{118} = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Paso 4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $118$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$118 \frac{\sin (B)}{118} = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $118 \frac{\sin (14)}{36}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $118$ .

$\sin (B) = 2 (59) \frac{\sin (14)}{36}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $36$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 59 \frac{\sin (14)}{2 \cdot 18}$

Paso 4.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (B) = 2 \cdot 59 \frac{\sin (14)}{2 \cdot 18}$

Paso 4.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 59 \frac{\sin (14)}{18}$

Paso 4.2.2.1.2

Combina $59$ y $\frac{\sin (14)}{18}$ .

$\sin (B) = \frac{59 \sin (14)}{18}$

Paso 4.2.2.1.3

Evalúa $\sin (14)$ .

$\sin (B) = \frac{59 \cdot 0.24192189}{18}$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $59$ por $0.24192189$ .

$\sin (B) = \frac{14.27339184}{18}$

Paso 4.2.2.1.5

Divide $14.27339184$ por $18$ .

$\sin (B) = 0.79296621$

Paso 4.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $B$ del interior de seno.

$B = \arcsin (0.79296621)$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

Evalúa $\arcsin (0.79296621)$ .

$B = 52.46357923$

Paso 4.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 52.46357923$

Paso 4.6

Resta $52.46357923$ de $180$ .

$B = 127.53642076$

Paso 4.7

La solución a la ecuación $B = 52.46357923$ .

$B = 52.46357923, 127.53642076$

Paso 5

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 14 + 52.46357923 = 180$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 6.1

Suma $14$ y $52.46357923$ .

$A + 66.46357923 = 180$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $66.46357923$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 66.46357923$

Paso 6.2.2

Resta $66.46357923$ de $180$ .

$A = 113.53642076$

Paso 7

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 8

Resuelve la ecuación.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Paso 9

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$a = \sqrt{{(118)}^{2} + {(36)}^{2} - 2 \cdot 118 \cdot 36 \cos (113.53642076)}$

Paso 10

Simplifica los resultados.

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Paso 10.1

Eleva $118$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{13924 + {(36)}^{2} - 2 \cdot 118 \cdot (36 \cos (113.53642076))}$

Paso 10.2

Eleva $36$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{13924 + 1296 - 2 \cdot 118 \cdot (36 \cos (113.53642076))}$

Paso 10.3

Multiplica $- 2 \cdot 118 \cdot 36$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $- 2$ por $118$ .

$a = \sqrt{13924 + 1296 - 236 \cdot (36 \cos (113.53642076))}$

Paso 10.3.2

Multiplica $- 236$ por $36$ .

$a = \sqrt{13924 + 1296 - 8496 \cos (113.53642076)}$

Paso 10.4

Suma $13924$ y $1296$ .

$a = \sqrt{15220 - 8496 \cos (113.53642076)}$

Paso 10.5

Reescribe $15220 - 8496 \cos (113.53642076)$ como $2^{2} (3805 - 2124 \cos (113.53642076))$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $4$ de $15220$ .

$a = \sqrt{4 (3805) - 8496 \cos (113.53642076)}$

Paso 10.5.2

Factoriza $4$ de $- 8496 \cos (113.53642076)$ .

$a = \sqrt{4 (3805) + 4 (- 2124 \cos (113.53642076))}$

Paso 10.5.3

Factoriza $4$ de $4 (3805) + 4 (- 2124 \cos (113.53642076))$ .

$a = \sqrt{4 (3805 - 2124 \cos (113.53642076))}$

Paso 10.5.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$a = \sqrt{2^{2} (3805 - 2124 \cos (113.53642076))}$

Paso 10.6

Retira los términos de abajo del radical.

$a = 2 \sqrt{3805 - 2124 \cos (113.53642076)}$

Paso 11

Para el segundo triángulo: usa el valor del segundo ángulo posible.

Resuelve el segundo triángulo.

Paso 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 13

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{118} = \frac{\sin (14)}{36}$

Paso 14

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 14.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $118$ .

$118 \frac{\sin (B)}{118} = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Paso 14.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 14.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1.1

Cancela el factor común de $118$ .

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Paso 14.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$118 \frac{\sin (B)}{118} = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Paso 14.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 118 \frac{\sin (14)}{36}$

Paso 14.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.2.1

Simplifica $118 \frac{\sin (14)}{36}$ .

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Paso 14.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $118$ .

$\sin (B) = 2 (59) \frac{\sin (14)}{36}$

Paso 14.2.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $36$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 59 \frac{\sin (14)}{2 \cdot 18}$

Paso 14.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\sin (B) = 2 \cdot 59 \frac{\sin (14)}{2 \cdot 18}$

Paso 14.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 59 \frac{\sin (14)}{18}$

Paso 14.2.2.1.2

Combina $59$ y $\frac{\sin (14)}{18}$ .

$\sin (B) = \frac{59 \sin (14)}{18}$

Paso 14.2.2.1.3

Evalúa $\sin (14)$ .

$\sin (B) = \frac{59 \cdot 0.24192189}{18}$

Paso 14.2.2.1.4

Multiplica $59$ por $0.24192189$ .

$\sin (B) = \frac{14.27339184}{18}$

Paso 14.2.2.1.5

Divide $14.27339184$ por $18$ .

$\sin (B) = 0.79296621$

Paso 14.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $B$ del interior de seno.

$B = \arcsin (0.79296621)$

Paso 14.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.4.1

Evalúa $\arcsin (0.79296621)$ .

$B = 52.46357923$

Paso 14.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 52.46357923$

Paso 14.6

Resta $52.46357923$ de $180$ .

$B = 127.53642076$

Paso 14.7

La solución a la ecuación $B = 52.46357923$ .

$B = 52.46357923, 127.53642076$

Paso 15

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 14 + 127.53642076 = 180$

Paso 16

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 16.1

Suma $14$ y $127.53642076$ .

$A + 141.53642076 = 180$

Paso 16.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 16.2.1

Resta $141.53642076$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 141.53642076$

Paso 16.2.2

Resta $141.53642076$ de $180$ .

$A = 38.46357923$

Paso 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 18

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $a$ .

$\frac{\sin (38.46357923)}{a} = \frac{\sin (127.53642076)}{118}$

Paso 19

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 19.1

Factoriza cada término.

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Paso 19.1.1

Evalúa $\sin (38.46357923)$ .

$\frac{0.62201703}{a} = \frac{\sin (127.53642076)}{118}$

Paso 19.1.2

Evalúa $\sin (127.53642076)$ .

$\frac{0.62201703}{a} = \frac{0.79296621}{118}$

Paso 19.1.3

Divide $0.79296621$ por $118$ .

$\frac{0.62201703}{a} = 0.00672005$

Paso 19.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 19.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a, 1$

Paso 19.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$a$

Paso 19.3

Multiplica cada término en $\frac{0.62201703}{a} = 0.00672005$ por $a$ para eliminar las fracciones.

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Paso 19.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.62201703}{a} = 0.00672005$ por $a$ .

$\frac{0.62201703}{a} a = 0.00672005 a$

Paso 19.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 19.3.2.1

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 19.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.62201703}{a} a = 0.00672005 a$

Paso 19.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$0.62201703 = 0.00672005 a$

Paso 19.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 19.4.1

Reescribe la ecuación como $0.00672005 a = 0.62201703$ .

$0.00672005 a = 0.62201703$

Paso 19.4.2

Divide cada término en $0.00672005 a = 0.62201703$ por $0.00672005$ y simplifica.

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Paso 19.4.2.1

Divide cada término en $0.00672005 a = 0.62201703$ por $0.00672005$ .

$\frac{0.00672005 a}{0.00672005} = \frac{0.62201703}{0.00672005}$

Paso 19.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 19.4.2.2.1

Cancela el factor común de $0.00672005$ .

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Paso 19.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.00672005 a}{0.00672005} = \frac{0.62201703}{0.00672005}$

Paso 19.4.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{0.62201703}{0.00672005}$

Paso 19.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 19.4.2.3.1

Divide $0.62201703$ por $0.00672005$ .

$a = 92.56133371$

Paso 20

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

Combinación del primer triángulo:

$A = 113.53642076$

$B = 52.46357923$

$C = 14$

$a = 2 \sqrt{3805 - 2124 \cos (113.53642076)}$

$b = 118$

$c = 36$

Combinación del segundo triángulo:

$A = 38.46357923$

$B = 127.53642076$

$C = 14$

$a = 92.56133371$

$b = 118$

$c = 36$