Trigonometría Ejemplos

$b = 1$ , $c = 2$ , $A = 150$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$a = \sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos (150)}$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$a = \sqrt{1 + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

Paso 4.3

Multiplica $- 2 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot (2 \cos (150))}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \cos (150)}$

Paso 4.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \cos (30))}$

Paso 4.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Paso 4.6.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 (- 2) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Paso 4.6.3

Cancela el factor común.

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \cdot (- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Paso 4.6.4

Reescribe la expresión.

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3})}$

Paso 4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \sqrt{3}}$

Paso 4.7.2

Suma $1$ y $4$ .

$a = \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$

Paso 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 7.1

Para que las dos funciones sean iguales, los argumentos de cada una deben ser iguales.

$B = 150$

Paso 7.2

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 150$

Paso 7.3

Resta $150$ de $180$ .

$B = 30$

Paso 7.4

La solución a la ecuación $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Paso 7.5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 8

No hay suficientes parámetros para resolver el triángulo.

Triángulo desconocido

Paso 9

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 10

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 11.1

Para que las dos funciones sean iguales, los argumentos de cada una deben ser iguales.

$B = 150$

Paso 11.2

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 150$

Paso 11.3

Resta $150$ de $180$ .

$B = 30$

Paso 11.4

La solución a la ecuación $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Paso 11.5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 12

No hay suficientes parámetros para resolver el triángulo.

Triángulo desconocido

Paso 13

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 14

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Paso 15

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 15.1

Para que las dos funciones sean iguales, los argumentos de cada una deben ser iguales.

$B = 150$

Paso 15.2

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 150$

Paso 15.3

Resta $150$ de $180$ .

$B = 30$

Paso 15.4

La solución a la ecuación $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Paso 15.5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 16

No hay suficientes parámetros para resolver el triángulo.

Triángulo desconocido

Paso 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 18

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Paso 19

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 19.1

Para que las dos funciones sean iguales, los argumentos de cada una deben ser iguales.

$B = 150$

Paso 19.2

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 150$

Paso 19.3

Resta $150$ de $180$ .

$B = 30$

Paso 19.4

La solución a la ecuación $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Paso 19.5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 20

No hay suficientes parámetros para resolver el triángulo.

Triángulo desconocido

Paso 21

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 22

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Paso 23

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 23.1

Para que las dos funciones sean iguales, los argumentos de cada una deben ser iguales.

$B = 150$

Paso 23.2

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 150$

Paso 23.3

Resta $150$ de $180$ .

$B = 30$

Paso 23.4

La solución a la ecuación $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Paso 23.5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 24

No hay suficientes parámetros para resolver el triángulo.

Triángulo desconocido