Trigonometría Ejemplos

$a = 8$ , $c = 9$ , $B = 118$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(9)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 9 \cos (118)}$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$b = \sqrt{64 + {(9)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (9 \cos (118))}$

Paso 4.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$b = \sqrt{64 + 81 - 2 \cdot 8 \cdot (9 \cos (118))}$

Paso 4.3

Multiplica $- 2 \cdot 8 \cdot 9$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$b = \sqrt{64 + 81 - 16 \cdot (9 \cos (118))}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 16$ por $9$ .

$b = \sqrt{64 + 81 - 144 \cos (118)}$

Paso 4.4

Evalúa $\cos (118)$ .

$b = \sqrt{64 + 81 - 144 \cdot - 0.46947156}$

Paso 4.5

Multiplica $- 144$ por $- 0.46947156$ .

$b = \sqrt{64 + 81 + 67.60390504}$

Paso 4.6

Suma $64$ y $81$ .

$b = \sqrt{145 + 67.60390504}$

Paso 4.7

Suma $145$ y $67.60390504$ .

$b = \sqrt{212.60390504}$

Paso 4.8

Evalúa la raíz.

$b = 14.58094321$

Paso 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $A$ .

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (118)}{14.58094321}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $8$ .

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (118)}{14.58094321}$

Paso 7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (118)}{14.58094321}$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (118)}{14.58094321}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $8 \frac{\sin (118)}{14.58094321}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Evalúa $\sin (118)$ .

$\sin (A) = 8 (\frac{0.88294759}{14.58094321})$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $0.88294759$ por $14.58094321$ .

$\sin (A) = 8 \cdot 0.0605549$

Paso 7.2.2.1.3

Multiplica $8$ por $0.0605549$ .

$\sin (A) = 0.48443921$

Paso 7.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (0.48443921)$

Paso 7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.1

Evalúa $\arcsin (0.48443921)$ .

$A = 28.97573809$

Paso 7.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 28.97573809$

Paso 7.6

Resta $28.97573809$ de $180$ .

$A = 151.0242619$

Paso 7.7

La solución a la ecuación $A = 28.97573809$ .

$A = 28.97573809, 151.0242619$

Paso 7.8

Excluye el ángulo no válido.

$A = 28.97573809$

Paso 8

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$28.97573809 + C + 118 = 180$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 9.1

Suma $28.97573809$ y $118$ .

$C + 146.97573809 = 180$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $146.97573809$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 146.97573809$

Paso 9.2.2

Resta $146.97573809$ de $180$ .

$C = 33.0242619$

Paso 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 28.97573809$

$B = 118$

$C = 33.0242619$

$a = 8$

$b = 14.58094321$

$c = 9$