Trigonometría Ejemplos

$a = 7$ , $b = 9$ , $C = 60$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$c = \sqrt{{(7)}^{2} + {(9)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cos (60)}$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{49 + {(9)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot (9 \cos (60))}$

Paso 4.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 2 \cdot 7 \cdot (9 \cos (60))}$

Paso 4.3

Multiplica $- 2 \cdot 7 \cdot 9$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 14 \cdot (9 \cos (60))}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 14$ por $9$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 126 \cos (60)}$

Paso 4.4

El valor exacto de $\cos (60)$ es $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 126 (\frac{1}{2})}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $2$ de $- 126$ .

$c = \sqrt{49 + 81 + 2 (- 63) (\frac{1}{2})}$

Paso 4.5.2

Cancela el factor común.

$c = \sqrt{49 + 81 + 2 \cdot (- 63 (\frac{1}{2}))}$

Paso 4.5.3

Reescribe la expresión.

$c = \sqrt{49 + 81 - 63}$

Paso 4.6

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.6.1

Suma $49$ y $81$ .

$c = \sqrt{130 - 63}$

Paso 4.6.2

Resta $63$ de $130$ .

$c = \sqrt{67}$

Paso 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $A$ .

$\frac{\sin (A)}{7} = \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $7$ .

$7 \frac{\sin (A)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Paso 7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$7 \frac{\sin (A)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

El valor exacto de $\sin (60)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{67}}$

Paso 7.2.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{67}})$

Paso 7.2.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{67}}$ por $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{1}{\sqrt{67}} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}))$

Paso 7.2.2.1.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{67}}$ por $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}})$

Paso 7.2.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{67}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1} \sqrt{67}})$

Paso 7.2.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{67}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1} {\sqrt{67}}^{1}})$

Paso 7.2.2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1 + 1}})$

Paso 7.2.2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{2}})$

Paso 7.2.2.1.4.6

Reescribe ${\sqrt{67}}^{2}$ como $67$ .

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Paso 7.2.2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{67}$ como $67^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{(67^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 7.2.2.1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 7.2.2.1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}})$

Paso 7.2.2.1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}})$

Paso 7.2.2.1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{1}})$

Paso 7.2.2.1.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67})$

Paso 7.2.2.1.5

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67}$ .

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Paso 7.2.2.1.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{67}}{67}$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{2 \cdot 67}$

Paso 7.2.2.1.5.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{3 \cdot 67}}{2 \cdot 67}$

Paso 7.2.2.1.5.3

Multiplica $3$ por $67$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{201}}{2 \cdot 67}$

Paso 7.2.2.1.5.4

Multiplica $2$ por $67$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{201}}{134}$

Paso 7.2.2.1.6

Combina $7$ y $\frac{\sqrt{201}}{134}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{201}}{134}$

Paso 7.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (\frac{7 \sqrt{201}}{134})$

Paso 7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.1

Evalúa $\arcsin (\frac{7 \sqrt{201}}{134})$ .

$A = 47.78365116$

Paso 7.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 47.78365116$

Paso 7.6

Resta $47.78365116$ de $180$ .

$A = 132.21634883$

Paso 7.7

La solución a la ecuación $A = 47.78365116$ .

$A = 47.78365116, 132.21634883$

Paso 7.8

Excluye el ángulo no válido.

$A = 47.78365116$

Paso 8

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$47.78365116 + 60 + B = 180$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 9.1

Suma $47.78365116$ y $60$ .

$107.78365116 + B = 180$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $107.78365116$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 180 - 107.78365116$

Paso 9.2.2

Resta $107.78365116$ de $180$ .

$B = 72.21634883$

Paso 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 47.78365116$

$B = 72.21634883$

$C = 60$

$a = 7$

$b = 9$

$c = \sqrt{67}$