Trigonometría Ejemplos

$a = 64$ , $b = 19$ , $c = 47$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$A = \arccos (\frac{{(19)}^{2} + {(47)}^{2} - {(64)}^{2}}{2 (19) (47)})$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{361 + 47^{2} - 64^{2}}{2 (19) \cdot 47})$

Paso 4.1.2

Eleva $47$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{361 + 2209 - 64^{2}}{2 (19) \cdot 47})$

Paso 4.1.3

Eleva $64$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{361 + 2209 - 1 \cdot 4096}{2 (19) \cdot 47})$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $4096$ .

$A = \arccos (\frac{361 + 2209 - 4096}{2 (19) \cdot 47})$

Paso 4.1.5

Suma $361$ y $2209$ .

$A = \arccos (\frac{2570 - 4096}{2 (19) \cdot 47})$

Paso 4.1.6

Resta $4096$ de $2570$ .

$A = \arccos (\frac{- 1526}{2 (19) \cdot 47})$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $19$ .

$A = \arccos (\frac{- 1526}{38 \cdot 47})$

Paso 4.2.2

Multiplica $38$ por $47$ .

$A = \arccos (\frac{- 1526}{1786})$

Paso 4.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $- 1526$ y $1786$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 1526$ .

$A = \arccos (\frac{2 (- 763)}{1786})$

Paso 4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $1786$ .

$A = \arccos (\frac{2 \cdot - 763}{2 \cdot 893})$

Paso 4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$A = \arccos (\frac{2 \cdot - 763}{2 \cdot 893})$

Paso 4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \arccos (\frac{- 763}{893})$

Paso 4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = \arccos (- \frac{763}{893})$

Paso 4.4

Evalúa $\arccos (- \frac{763}{893})$ .

$A = 148.69608088$

Paso 5

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Paso 6

Resuelve la ecuación.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Paso 7

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$B = \arccos (\frac{{(64)}^{2} + {(47)}^{2} - {(19)}^{2}}{2 (64) (47)})$

Paso 8

Simplifica los resultados.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $64$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{4096 + 47^{2} - 19^{2}}{2 (64) \cdot 47})$

Paso 8.1.2

Eleva $47$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{4096 + 2209 - 19^{2}}{2 (64) \cdot 47})$

Paso 8.1.3

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{4096 + 2209 - 1 \cdot 361}{2 (64) \cdot 47})$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $361$ .

$B = \arccos (\frac{4096 + 2209 - 361}{2 (64) \cdot 47})$

Paso 8.1.5

Suma $4096$ y $2209$ .

$B = \arccos (\frac{6305 - 361}{2 (64) \cdot 47})$

Paso 8.1.6

Resta $361$ de $6305$ .

$B = \arccos (\frac{5944}{2 (64) \cdot 47})$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $64$ .

$B = \arccos (\frac{5944}{128 \cdot 47})$

Paso 8.2.2

Multiplica $128$ por $47$ .

$B = \arccos (\frac{5944}{6016})$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $5944$ y $6016$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $8$ de $5944$ .

$B = \arccos (\frac{8 (743)}{6016})$

Paso 8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $8$ de $6016$ .

$B = \arccos (\frac{8 \cdot 743}{8 \cdot 752})$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común.

$B = \arccos (\frac{8 \cdot 743}{8 \cdot 752})$

Paso 8.3.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \arccos (\frac{743}{752})$

Paso 8.4

Evalúa $\arccos (\frac{743}{752})$ .

$B = 8.87327737$

Paso 9

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$148.69608088 + C + 8.87327737 = 180$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 10.1

Suma $148.69608088$ y $8.87327737$ .

$C + 157.56935826 = 180$

Paso 10.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.2.1

Resta $157.56935826$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 157.56935826$

Paso 10.2.2

Resta $157.56935826$ de $180$ .

$C = 22.43064173$

Paso 11

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 148.69608088$

$B = 8.87327737$

$C = 22.43064173$

$a = 64$

$b = 19$

$c = 47$