Trigonometría Ejemplos

$a = 21$ , $b = 5$ , $c = 24$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$A = \arccos (\frac{{(5)}^{2} + {(24)}^{2} - {(21)}^{2}}{2 (5) (24)})$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 24^{2} - 21^{2}}{2 (5) \cdot 24})$

Paso 4.1.2

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 576 - 21^{2}}{2 (5) \cdot 24})$

Paso 4.1.3

Eleva $21$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 576 - 1 \cdot 441}{2 (5) \cdot 24})$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $441$ .

$A = \arccos (\frac{25 + 576 - 441}{2 (5) \cdot 24})$

Paso 4.1.5

Suma $25$ y $576$ .

$A = \arccos (\frac{601 - 441}{2 (5) \cdot 24})$

Paso 4.1.6

Resta $441$ de $601$ .

$A = \arccos (\frac{160}{2 (5) \cdot 24})$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$A = \arccos (\frac{160}{10 \cdot 24})$

Paso 4.2.2

Multiplica $10$ por $24$ .

$A = \arccos (\frac{160}{240})$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $160$ y $240$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $80$ de $160$ .

$A = \arccos (\frac{80 (2)}{240})$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $80$ de $240$ .

$A = \arccos (\frac{80 \cdot 2}{80 \cdot 3})$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$A = \arccos (\frac{80 \cdot 2}{80 \cdot 3})$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \arccos (\frac{2}{3})$

Paso 4.4

Evalúa $\arccos (\frac{2}{3})$ .

$A = 48.1896851$

Paso 5

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Paso 6

Resuelve la ecuación.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Paso 7

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$B = \arccos (\frac{{(21)}^{2} + {(24)}^{2} - {(5)}^{2}}{2 (21) (24)})$

Paso 8

Simplifica los resultados.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $21$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{441 + 24^{2} - 5^{2}}{2 (21) \cdot 24})$

Paso 8.1.2

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{441 + 576 - 5^{2}}{2 (21) \cdot 24})$

Paso 8.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{441 + 576 - 1 \cdot 25}{2 (21) \cdot 24})$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$B = \arccos (\frac{441 + 576 - 25}{2 (21) \cdot 24})$

Paso 8.1.5

Suma $441$ y $576$ .

$B = \arccos (\frac{1017 - 25}{2 (21) \cdot 24})$

Paso 8.1.6

Resta $25$ de $1017$ .

$B = \arccos (\frac{992}{2 (21) \cdot 24})$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $21$ .

$B = \arccos (\frac{992}{42 \cdot 24})$

Paso 8.2.2

Multiplica $42$ por $24$ .

$B = \arccos (\frac{992}{1008})$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $992$ y $1008$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $16$ de $992$ .

$B = \arccos (\frac{16 (62)}{1008})$

Paso 8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $16$ de $1008$ .

$B = \arccos (\frac{16 \cdot 62}{16 \cdot 63})$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común.

$B = \arccos (\frac{16 \cdot 62}{16 \cdot 63})$

Paso 8.3.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \arccos (\frac{62}{63})$

Paso 8.4

Evalúa $\arccos (\frac{62}{63})$ .

$B = 10.22217939$

Paso 9

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$48.1896851 + C + 10.22217939 = 180$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 10.1

Suma $48.1896851$ y $10.22217939$ .

$C + 58.41186449 = 180$

Paso 10.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.2.1

Resta $58.41186449$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 58.41186449$

Paso 10.2.2

Resta $58.41186449$ de $180$ .

$C = 121.5881355$

Paso 11

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 48.1896851$

$B = 10.22217939$

$C = 121.5881355$

$a = 21$

$b = 5$

$c = 24$