Trigonometría Ejemplos

$a = 2$ , $c = 1$ , $A = 120$

Paso 1

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $C$ .

$\frac{\sin (C)}{1} = \frac{\sin (120)}{2}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 3.1

Divide $\sin (C)$ por $1$ .

$\sin (C) = \frac{\sin (120)}{2}$

Paso 3.2

Simplifica $\frac{\sin (120)}{2}$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sin (C) = \frac{\sin (60)}{2}$

Paso 3.2.1.2

El valor exacto de $\sin (60)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$

Paso 3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (C) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sin (C) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Paso 3.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $C$ del interior de seno.

$C = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{4})$

Paso 3.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.1

Evalúa $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{4})$ .

$C = 25.65890627$

Paso 3.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$C = 180 - 25.65890627$

Paso 3.6

Resta $25.65890627$ de $180$ .

$C = 154.34109372$

Paso 3.7

La solución a la ecuación $C = 25.65890627$ .

$C = 25.65890627, 154.34109372$

Paso 3.8

Excluye el ángulo no válido.

$C = 25.65890627$

Paso 4

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$120 + 25.65890627 + B = 180$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 5.1

Suma $120$ y $25.65890627$ .

$145.65890627 + B = 180$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $145.65890627$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 180 - 145.65890627$

Paso 5.2.2

Resta $145.65890627$ de $180$ .

$B = 34.34109372$

Paso 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 7

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $b$ .

$\frac{\sin (34.34109372)}{b} = \frac{\sin (120)}{2}$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $b$ .

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Paso 8.1

Factoriza cada término.

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Paso 8.1.1

Evalúa $\sin (34.34109372)$ .

$\frac{0.56411839}{b} = \frac{\sin (120)}{2}$

Paso 8.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{0.56411839}{b} = \frac{\sin (60)}{2}$

Paso 8.1.2.2

El valor exacto de $\sin (60)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.56411839}{b} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$

Paso 8.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{0.56411839}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8.1.4

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 8.1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.56411839}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.56411839}{b} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Paso 8.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 8.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$b, 4$

Paso 8.2.2

Since $b, 4$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 4$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Paso 8.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 8.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 8.2.5

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2$

Paso 8.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$

Paso 8.2.7

El factor para $b^{1}$ es $b$ en sí mismo.

$b^{1} = b$

$b$ ocurre $1$ vez.

Paso 8.2.8

El MCM de $b^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$b$

Paso 8.2.9

El MCM para $b, 4$ es la parte numérica $4$ multiplicada por la parte variable.

$4 b$

Paso 8.3

Multiplica cada término en $\frac{0.56411839}{b} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ por $4 b$ para eliminar las fracciones.

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Paso 8.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.56411839}{b} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ por $4 b$ .

$\frac{0.56411839}{b} (4 b) = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 b)$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{0.56411839}{b} b = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 b)$

Paso 8.3.2.2

Multiplica $4 \frac{0.56411839}{b}$ .

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Paso 8.3.2.2.1

Combina $4$ y $\frac{0.56411839}{b}$ .

$\frac{4 \cdot 0.56411839}{b} b = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 b)$

Paso 8.3.2.2.2

Multiplica $4$ por $0.56411839$ .

$\frac{2.25647359}{b} b = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 b)$

Paso 8.3.2.3

Cancela el factor común de $b$ .

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Paso 8.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2.25647359}{b} b = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 b)$

Paso 8.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2.25647359 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 b)$

Paso 8.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 b$ .

$2.25647359 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 (b))$

Paso 8.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$2.25647359 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 b)$

Paso 8.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$2.25647359 = \sqrt{3} b$

Paso 8.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 8.4.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{3} b = 2.25647359$ .

$\sqrt{3} b = 2.25647359$

Paso 8.4.2

Divide cada término en $\sqrt{3} b = 2.25647359$ por $\sqrt{3}$ y simplifica.

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Paso 8.4.2.1

Divide cada término en $\sqrt{3} b = 2.25647359$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} b}{\sqrt{3}} = \frac{2.25647359}{\sqrt{3}}$

Paso 8.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{3}$ .

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Paso 8.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} b}{\sqrt{3}} = \frac{2.25647359}{\sqrt{3}}$

Paso 8.4.2.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{2.25647359}{\sqrt{3}}$

Paso 8.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.3.1

Multiplica $\frac{2.25647359}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$b = \frac{2.25647359}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.4.2.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.4.2.3.2.1

Multiplica $\frac{2.25647359}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$b = \frac{2.25647359 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.4.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$b = \frac{2.25647359 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 8.4.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$b = \frac{2.25647359 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 8.4.2.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$b = \frac{2.25647359 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 8.4.2.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$b = \frac{2.25647359 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.4.2.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.4.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \frac{2.25647359 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.4.2.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \frac{2.25647359 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.4.2.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$b = \frac{2.25647359 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.4.2.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.2.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$b = \frac{2.25647359 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.4.2.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$b = \frac{2.25647359 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 8.4.2.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$b = \frac{2.25647359 \sqrt{3}}{3}$

Paso 8.4.2.3.3

Multiplica $2.25647359$ por $\sqrt{3}$ .

$b = \frac{3.90832691}{3}$

Paso 8.4.2.3.4

Divide $3.90832691$ por $3$ .

$b = 1.30277563$

Paso 9

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 120$

$B = 34.34109372$

$C = 25.65890627$

$a = 2$

$b = 1.30277563$

$c = 1$