Trigonometría Ejemplos

$(- 3, \frac{- 2 π}{3})$

Paso 1

Para obtener $\cos (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(- 3, \frac{- 2 π}{3})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(- 3, 0)$ y $(- 3, \frac{- 2 π}{3})$ .

Opuesto: $\frac{- 2 π}{3}$

Adyacente: $- 3$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 + {(\frac{- 2 π}{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt{9 + {(- \frac{2 π}{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.3.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 π}{3}$ .

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 π}{3}$ .

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 2.3.3

Aplica la regla del producto a $2 π$ .

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Paso 2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 + 1 \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{9 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Paso 2.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

Paso 2.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Paso 2.8

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{9 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Paso 2.9

Combina $9$ y $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9 + 4 π^{2}}{9}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $9$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$

Paso 2.11

Reescribe $\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$ como $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

Paso 2.12

Simplifica el denominador.

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Paso 2.12.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 2.12.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

Paso 3

$\cos (θ) = \frac{Adyacente}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\cos (θ) = \frac{- 3}{\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}}$ .

$\frac{- 3}{\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}}$

Paso 4

Simplifica $\cos (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 3 (\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}})$

Paso 4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Paso 4.3.2

Eleva $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Paso 4.3.3

Eleva $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Paso 4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{1 + 1}}$

Paso 4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{2}}$

Paso 4.3.6

Reescribe ${\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{2}$ como $81 + 4 π^{2}$ .

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Paso 4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ como ${(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{({(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Paso 4.3.6.5

Simplifica.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Paso 4.4

Multiplica $- 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$ .

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Paso 4.4.1

Combina $- 3$ y $\frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{- 3 (3 \sqrt{81 + 4 π^{2}})}{81 + 4 π^{2}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\cos (θ) = \frac{- 9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (θ) = - \frac{9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\cos (θ) = - \frac{9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}} \approx - 0.81995096$