Trigonometría Ejemplos

$(- 5, 12)$ , $(3, 2)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 5 \cdot 3 + 12 \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 + 12 \cdot 2$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $12$ por $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 + 24$

Paso 2.2.2

Suma $- 15$ y $24$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 12^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 12^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 144}$

Paso 3.2.3

Suma $25$ y $144$ .

$| a⃗ | = \sqrt{169}$

Paso 3.2.4

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{13^{2}}$

Paso 3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| a⃗ | = 13$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + 2^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 2^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 4}$

Paso 4.2.3

Suma $9$ y $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{13}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{9}{13 \sqrt{13}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{9}{13 \sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9}{13 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Paso 6.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{9}{13 \sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \sqrt{13} \sqrt{13}})$

Paso 6.2.2

Mueve $\sqrt{13}$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 (\sqrt{13} \sqrt{13})})$

Paso 6.2.3

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})})$

Paso 6.2.4

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})})$

Paso 6.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 {\sqrt{13}}^{1 + 1}})$

Paso 6.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 {\sqrt{13}}^{2}})$

Paso 6.2.7

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 6.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{1}})$

Paso 6.2.7.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13})$

Paso 6.3

Multiplica $13$ por $13$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{169})$

Paso 6.4

Evalúa $\arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{169})$ .

$θ = 78.92979742$