Trigonometría Ejemplos

$(3, - 4)$ , $(- 5, 7)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot - 5 - 4 \cdot 7$

Paso 2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 - 4 \cdot 7$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 - 28$

Paso 2.2.2

Resta $28$ de $- 15$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 43$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 4)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 16}$

Paso 3.2.3

Suma $9$ y $16$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25}$

Paso 3.2.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Paso 3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| a⃗ | = 5$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 7^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 7^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 49}$

Paso 4.2.3

Suma $25$ y $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{74}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 43}{5 \sqrt{74}})$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ = \arccos (- \frac{43}{5 \sqrt{74}})$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{43}{5 \sqrt{74}}$ por $\frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{43}{5 \sqrt{74}} \cdot \frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}))$

Paso 6.3

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{43}{5 \sqrt{74}}$ por $\frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \sqrt{74} \sqrt{74}})$

Paso 6.3.2

Mueve $\sqrt{74}$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 (\sqrt{74} \sqrt{74})})$

Paso 6.3.3

Eleva $\sqrt{74}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 ({\sqrt{74}}^{1} \sqrt{74})})$

Paso 6.3.4

Eleva $\sqrt{74}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 ({\sqrt{74}}^{1} {\sqrt{74}}^{1})})$

Paso 6.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 {\sqrt{74}}^{1 + 1}})$

Paso 6.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 {\sqrt{74}}^{2}})$

Paso 6.3.7

Reescribe ${\sqrt{74}}^{2}$ como $74$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{74}$ como $74^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{1}})$

Paso 6.3.7.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74})$

Paso 6.4

Multiplica $5$ por $74$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{370})$

Paso 6.5

Evalúa $\arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{370})$ .

$θ = 178.66778014$