Trigonometría Ejemplos

$a = (- 8, 8)$ , $b = (- 6, 2)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 \cdot - 6 + 8 \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 8$ por $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 48 + 8 \cdot 2$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 48 + 16$

Paso 2.2.2

Suma $48$ y $16$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 64$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 8)}^{2} + 8^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 8^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 64}$

Paso 3.2.3

Suma $64$ y $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{128}$

Paso 3.2.4

Reescribe $128$ como $8^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $64$ de $128$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 (2)}$

Paso 3.2.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{8^{2} \cdot 2}$

Paso 3.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| a⃗ | = 8 \sqrt{2}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 6)}^{2} + 2^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 2^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 4}$

Paso 4.2.3

Suma $36$ y $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{40}$

Paso 4.2.4

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (10)}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Paso 4.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{10}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{64}{8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $64$ y $8$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $8$ de $64$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $8$ de $8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 (\sqrt{2} (2 \sqrt{10}))})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 (\sqrt{2} (2 \sqrt{10}))})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{8}{\sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{\sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $\sqrt{2} (2 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{2 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{2 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2} (\sqrt{10})})$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{20}})$

Paso 6.4

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 6.4.1.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{4 (5)}})$

Paso 6.4.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

Paso 6.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$θ = \arccos (\frac{4}{2 \sqrt{5}})$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}})$

Paso 6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})})$

Paso 6.5.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}})$

Paso 6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{5}})$

Paso 6.6

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 6.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.7.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Paso 6.7.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Paso 6.7.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Paso 6.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Paso 6.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Paso 6.7.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 6.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}})$

Paso 6.7.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 6.8

Evalúa $\arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

$θ = 26.56505117$