Trigonometría Ejemplos

$(2, 7)$ , $(3, 1)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 3 + 7 \cdot 1$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 + 7 \cdot 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 + 7$

Paso 2.2.2

Suma $6$ y $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 13$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 7^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 7^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 49}$

Paso 3.2.3

Suma $4$ y $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{53}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1^{2}}$

Paso 4.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Paso 4.2.3

Suma $9$ y $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{53} \sqrt{10}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{53 \cdot 10}})$

Paso 6.1.2

Multiplica $53$ por $10$ .

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{530}})$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{13}{\sqrt{530}}$ por $\frac{\sqrt{530}}{\sqrt{530}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{530}} \cdot \frac{\sqrt{530}}{\sqrt{530}})$

Paso 6.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{13}{\sqrt{530}}$ por $\frac{\sqrt{530}}{\sqrt{530}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{\sqrt{530} \sqrt{530}})$

Paso 6.3.2

Eleva $\sqrt{530}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{1} \sqrt{530}})$

Paso 6.3.3

Eleva $\sqrt{530}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{1} {\sqrt{530}}^{1}})$

Paso 6.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{1 + 1}})$

Paso 6.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{2}})$

Paso 6.3.6

Reescribe ${\sqrt{530}}^{2}$ como $530$ .

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Paso 6.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{530}$ como $530^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{(530^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{1}})$

Paso 6.3.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530})$

Paso 6.4

Evalúa $\arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530})$ .

$θ = 55.61965527$