Trigonometría Ejemplos

$(8, 12)$ , $(- 10, - 15)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 \cdot - 10 + 12 \cdot - 15$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $8$ por $- 10$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 80 + 12 \cdot - 15$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $12$ por $- 15$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 80 - 180$

Paso 2.2.2

Resta $180$ de $- 80$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 260$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{8^{2} + 12^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 12^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 144}$

Paso 3.2.3

Suma $64$ y $144$ .

$| a⃗ | = \sqrt{208}$

Paso 3.2.4

Reescribe $208$ como $4^{2} \cdot 13$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $16$ de $208$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 (13)}$

Paso 3.2.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} \cdot 13}$

Paso 3.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| a⃗ | = 4 \sqrt{13}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(- 15)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100 + {(- 15)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $- 15$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100 + 225}$

Paso 4.2.3

Suma $100$ y $225$ .

$| b⃗ | = \sqrt{325}$

Paso 4.2.4

Reescribe $325$ como $5^{2} \cdot 13$ .

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $25$ de $325$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (13)}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 13}$

Paso 4.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{13}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 260}{4 \sqrt{13} (5 \sqrt{13})})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $- 260$ y $4$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $4$ de $- 260$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 65}{4 \sqrt{13} (5 \sqrt{13})})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{13} (5 \sqrt{13})$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 65}{4 (\sqrt{13} (5 \sqrt{13}))})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 65}{4 (\sqrt{13} (5 \sqrt{13}))})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{- 65}{\sqrt{13} (5 \sqrt{13})})$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $- 65$ y $5$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $5$ de $- 65$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 13}{\sqrt{13} (5 \sqrt{13})})$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $5$ de $\sqrt{13} (5 \sqrt{13})$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 13}{5 (\sqrt{13} (\sqrt{13}))})$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 13}{5 (\sqrt{13} (\sqrt{13}))})$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{13} (\sqrt{13})})$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}})$

Paso 6.3.2

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}})$

Paso 6.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}})$

Paso 6.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{{\sqrt{13}}^{2}})$

Paso 6.4

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 6.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{13^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{13^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{13^{1}})$

Paso 6.4.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{13})$

Paso 6.5

Divide $- 13$ por $13$ .

$θ = \arccos (- 1)$

Paso 6.6

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $180$ .

$θ = 180$