Trigonometría Ejemplos

(6, 10)

$(6, 10)$ ,

(12, 5)

$(12, 5)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 12 + 10 \cdot 5

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 12 + 10 \cdot 5$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica

6

$6$ por

12

$12$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 10 \cdot 5

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 10 \cdot 5$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

10

$10$ por

5

$5$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50$

a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50$

Paso 2.2.2

Suma

72

$72$ y

50

$50$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 122

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

a⃗ \cdot b⃗ = 122

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

a⃗ \cdot b⃗ = 122

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

Paso 3

Obtén la magnitud de

a⃗

$a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 10^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 10^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva

6

$6$ a la potencia de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{36 + 10^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 10^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva

10

$10$ a la potencia de

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{36 + 100}

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 100}$

Paso 3.2.3

Suma

36

$36$ y

100

$100$ .

| a⃗ | = \sqrt{136}

$| a⃗ | = \sqrt{136}$

Paso 3.2.4

Reescribe

136

$136$ como

2^{2} \cdot 34

$2^{2} \cdot 34$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza

4

$4$ de

136

$136$ .

| a⃗ | = \sqrt{4 (34)}

$| a⃗ | = \sqrt{4 (34)}$

Paso 3.2.4.2

Reescribe

4

$4$ como

2^{2}

$2^{2}$ .

| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}$

| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}$

Paso 3.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

| a⃗ | = 2 \sqrt{34}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

| a⃗ | = 2 \sqrt{34}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

| a⃗ | = 2 \sqrt{34}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

Paso 4

Obtén la magnitud de

b⃗

$b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{12^{2} + 5^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{12^{2} + 5^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva

12

$12$ a la potencia de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{144 + 5^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 5^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva

5

$5$ a la potencia de

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{144 + 25}

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 25}$

Paso 4.2.3

Suma

144

$144$ y

25

$25$ .

| b⃗ | = \sqrt{169}

$| b⃗ | = \sqrt{169}$

Paso 4.2.4

Reescribe

169

$169$ como

13^{2}

$13^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{13^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{13^{2}}$

Paso 4.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

| b⃗ | = 13

$| b⃗ | = 13$

| b⃗ | = 13

$| b⃗ | = 13$

| b⃗ | = 13

$| b⃗ | = 13$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

θ = arccos (\frac{122}{2 \sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{122}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de

122

$122$ y

2

$2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza

2

$2$ de

122

$122$ .

θ = arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 \sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza

2

$2$ de

2 \sqrt{34} \cdot 13

$2 \sqrt{34} \cdot 13$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})$

Paso 6.2

Mueve

$13$ a la izquierda de

$\sqrt{34}$ .

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}})$

Paso 6.3

Multiplica

$\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ por

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica

$\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ por

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \sqrt{34} \sqrt{34}})$

Paso 6.4.2

Mueve

$\sqrt{34}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 (\sqrt{34} \sqrt{34})})$

Paso 6.4.3

Eleva

$\sqrt{34}$ a la potencia de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})})$

Paso 6.4.4

Eleva

$\sqrt{34}$ a la potencia de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})})$

Paso 6.4.5

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.6

Suma

$1$ y

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{2}})$

Paso 6.4.7

Reescribe

${\sqrt{34}}^{2}$ como

$34$ .

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Paso 6.4.7.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{34}$ como

$34^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.7.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.7.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 6.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})$

Paso 6.4.7.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})$

Paso 6.5

Multiplica

$13$ por

$34$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$

Paso 6.6

Evalúa

$\arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$ .

$θ = 36.41637851$