Trigonometría Ejemplos

$(6, 10)$ , $(12, 5)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 12 + 10 \cdot 5$

Paso 2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Multiplica $6$ por $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 10 \cdot 5$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $10$ por $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50$

Paso 2.2.2

Suma $72$ y $50$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 10^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 10^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 100}$

Paso 3.2.3

Suma $36$ y $100$ .

$| a⃗ | = \sqrt{136}$

Paso 3.2.4

Reescribe $136$ como $2^{2} \cdot 34$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Factoriza $4$ de $136$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 (34)}$

Paso 3.2.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}$

Paso 3.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{12^{2} + 5^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 5^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 25}$

Paso 4.2.3

Suma $144$ y $25$ .

$| b⃗ | = \sqrt{169}$

Paso 4.2.4

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{13^{2}}$

Paso 4.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| b⃗ | = 13$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{122}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Cancela el factor común de $122$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $122$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{34} \cdot 13$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})$

Paso 6.2

Mueve $13$ a la izquierda de $\sqrt{34}$ .

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ por $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ por $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \sqrt{34} \sqrt{34}})$

Paso 6.4.2

Mueve $\sqrt{34}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 (\sqrt{34} \sqrt{34})})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{34}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})})$

Paso 6.4.4

Eleva $\sqrt{34}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})})$

Paso 6.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{2}})$

Paso 6.4.7

Reescribe ${\sqrt{34}}^{2}$ como $34$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{34}$ como $34^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})$

Paso 6.4.7.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})$

Paso 6.5

Multiplica $13$ por $34$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$

Paso 6.6

Evalúa $\arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$ .

$θ = 36.41637851$