Trigonometría Ejemplos

$(- 3, 5)$ , $(2, 2)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 + 5 \cdot 2$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 + 10$

Paso 2.2.2

Suma $- 6$ y $10$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 4$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 5^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 5^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 25}$

Paso 3.2.3

Suma $9$ y $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{34}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 2^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 2^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4}$

Paso 4.2.3

Suma $4$ y $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{8}$

Paso 4.2.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (2)}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 4.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{2}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{34} (2 \sqrt{2})})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{34} (2 \sqrt{2})})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $2$ de $\sqrt{34} (2 \sqrt{2})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{34} (\sqrt{2}))})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{34} (\sqrt{2}))})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{34} (\sqrt{2})})$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{34 \cdot 2}})$

Paso 6.2.2

Multiplica $34$ por $2$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{68}})$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Reescribe $68$ como $2^{2} \cdot 17$ .

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Paso 6.3.1.1

Factoriza $4$ de $68$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{4 (17)}})$

Paso 6.3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 17}})$

Paso 6.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{17}})$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{17}})$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{17}})$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Paso 6.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Paso 6.6.2

Eleva $\sqrt{17}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Paso 6.6.3

Eleva $\sqrt{17}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Paso 6.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Paso 6.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Paso 6.6.6

Reescribe ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Paso 6.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{17}}{17^{1}})$

Paso 6.6.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{17}}{17})$

Paso 6.7

Evalúa $\arccos (\frac{\sqrt{17}}{17})$ .

$θ = 75.96375653$