Trigonometría Ejemplos

$(2, - 1)$ , $(- 2, - 3)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 2 - - 3$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 - - 3$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 3$

Paso 2.2.2

Suma $- 4$ y $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Paso 3.2.3

Suma $4$ y $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 3)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9}$

Paso 4.2.3

Suma $4$ y $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{13}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{5} \sqrt{13}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{5 \cdot 13}})$

Paso 6.1.2

Multiplica $5$ por $13$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{65}})$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{65}})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{65}}$ por $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}))$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{65}}$ por $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}})$

Paso 6.4.2

Eleva $\sqrt{65}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} \sqrt{65}})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{65}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} {\sqrt{65}}^{1}})$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{2}})$

Paso 6.4.6

Reescribe ${\sqrt{65}}^{2}$ como $65$ .

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Paso 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{65}$ como $65^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{(65^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{1}})$

Paso 6.4.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65})$

Paso 6.5

Evalúa $\arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65})$ .

$θ = 97.12501634$