Trigonometría Ejemplos

$(- 2, 0)$ , $(1, 7)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $0$ por $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

Paso 2.2.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}$

Paso 3.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}$

Paso 3.2.3

Suma $4$ y $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4}$

Paso 3.2.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}$

Paso 3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| a⃗ | = 2$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}$

Paso 4.2.3

Suma $1$ y $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{50}$

Paso 4.2.4

Reescribe $50$ como $5^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Paso 4.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Paso 6.1.2.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{5 \sqrt{2}})$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ = \arccos (- \frac{1}{5 \sqrt{2}})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Paso 6.4.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Paso 6.4.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Paso 6.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}})$

Paso 6.4.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}})$

Paso 6.4.7.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2})$

Paso 6.5

Multiplica $5$ por $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$

Paso 6.6

Evalúa $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$ .

$θ = 98.13010235$